2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程（1）学案 新人教a版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆及其标准方程(一)学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一　椭圆的定义思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.思考2　在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？答案　笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程

2、中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理　(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M

5、

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝2a，2a>

10、F1F2

11、}.(3)2a与

12、F1F2

13、的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>

14、F1F2

15、动点的轨迹是椭圆2a＝

16、F1F2

17、动点的轨迹是线段F1F22a<

18、F1F2

19、动点不存在，因此轨迹不存在知识点二　椭圆的标准方程思考1　在

20、椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.思考2　若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？答案　以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x，y)，依题意得

21、PA

22、＋

23、PB

24、＝10，所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)F1(－c，0)，F2(c，0)2c焦点在y轴上＋＝1(a>b>0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(

25、2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距

26、F1F2

27、＝2.类型一　椭圆的定义解读例1　点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内

28、切且过P点，判断圆心M的轨迹.解　方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以

29、MC

30、＋

31、MP

32、＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝

33、CP

34、，所以动点M的轨迹是椭圆.引申探究若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.解　设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9，圆心C(3，0)，半径r＝3.由

35、MC

36、＝

37、MP

38、＋r，故

39、MC

40、－

41、MP

42、＝r＝3，

43、即－＝3，整理得－＝1(x<0).反思与感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.跟踪训练1　下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足

44、PF1

45、＋

46、PF2

47、＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足

48、PF1

49、＋

50、PF2

51、＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案　

52、②解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝

53、F1F2

54、＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).类型二　求椭圆的标准方程命题角度1　用待定系数法求椭圆的标准方程例2　求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得由a>b>0知不合题意，故舍去.②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依