2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案 新人教a版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆及其标准方程1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　椭圆的定义阅读教材P38“思考”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______的点的轨迹叫做椭圆，这________叫做椭圆的焦点，________叫做椭圆的焦距.【答案】　常数(大于

2、F1F2

3、)　两个定点　两焦点间的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.(　　)(2)在椭圆定义中，将“大于

4、F1F2

5、”改为“

6、等于F1F2”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段.(　　)(3)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理2　椭圆的标准方程阅读教材P39～P40“例1”以上部分，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)________与________a，b，c的关系c2＝________【答案】　＋＝1(a＞b＞0)　(0，－c)　(0，c)　a2－b2椭圆＋＝1的焦点在________轴上，焦距为________，椭圆＋＝1的焦点在___

7、_____轴上，焦点坐标为________.【解析】　由25>9可判断椭圆＋＝1的焦点在x轴上，由c2＝25－9＝16，可得c＝4，故其焦距为8.由16>9，可判断椭圆＋＝1的焦点在y轴上，c2＝16－9＝7，故焦点坐标为(0，)和(0，－).【答案】　x　8　y　(0，)和(0，－)[小组合作型]求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0);【导学号：37792045】(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1).【自主解答】　(1)由于椭圆的焦点在x轴

8、上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准

9、方程为＋＝1.1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0).因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.[再练一题]1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0,2)和B，求椭圆的标准方程.【解】　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得解得∴所求椭圆方程为x2＋＝1.椭圆的定义及其应用　设P是椭

10、圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.【精彩点拨】　(1)由椭圆方程，你能写出

11、PF1

12、＋

13、PF2

14、与

15、F1F2

16、的大小吗？(2)在△F1PF2中，根据余弦定理可以得到

17、F1F2

18、、

19、PF1

20、、

21、PF2

22、之间的关系式吗？(3)怎样求△F1PF2的面积？【自主解答】　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，∴c＝，2c＝5.在△PF1F2中，

23、F1F2

24、2＝

25、PF1

26、2＋

27、PF2

28、2－2

29、PF1

30、·

31、PF2

32、cos60°，即25＝

33、PF1

34、2＋

35、PF2

36、2－

37、PF1

38、·

39、PF2

40、.①由椭圆的定义得10＝

41、PF1

42、＋

43、PF2

44、，即100＝

45、

46、PF1

47、2＋

48、PF2

49、2＋2

50、PF1

51、·

52、PF2

53、.②②－①得3

54、PF1

55、·

56、PF2

57、＝75，所以

58、PF1

59、·

60、PF2

61、＝25，所以S△F1PF2＝

62、PF1

63、·

64、PF2

65、·sin60°＝.1.椭圆的定义具有双向作用，即若

66、MF1

67、＋

68、MF2

69、＝2a(2a＞

70、F1F2

71、)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形