2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于

4、F1F2

5、”改为“等于

6、F1F2

7、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于

8、F

9、1F2

10、”改为“小于

11、F1F2

12、”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于

13、F1F2

14、时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2[基础自测]1．思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　)(2)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．(

15、　　)(3)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于(　　)A．10B．5　　C．15　　D．25D　[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)【导学号：46342060】A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝1

16、0，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.][合作探究·攻重难]求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1

17、(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[规律方法]　1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3

18、)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．[跟踪训练]1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B，求椭圆的标准方程．[解]　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得解得∴所求椭圆方程为x2＋＝1.椭圆中的焦点三角形问题　(1)椭圆＋＝1

19、的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若

20、PF1

21、＝4，则∠F1PF2的大小为________．(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________.【导学号：46342061】[思路探究]　(1)→→(2)→→→[解析]　(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝.∴

22、PF2

23、＝2a－

24、PF1

25、＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而

26、F1F2

27、＝2c＝2.在△PF1F

28、2中，由余弦定理得

29、PF2

30、2＝

31、PF1

32、2＋

33、F1F2

34、2－2

35、PF1

36、

37、F1F2

38、cos∠PF1F2，即

39、PF2

40、2＝

41、PF1

42、2＋4＋2

43、PF1

44、　①.由椭圆定义得

45、PF1

46、＋

47、PF2

48、＝2a＝4　②.由①②联立可得

49、PF1

50、＝.所以S＝

51、PF1

52、

53、F1F2

54、sin∠PF1F2＝××2×＝.[答案]　(1)120°　(2)[规律方法]　1.椭圆的定义具有双向作用，即若

55、MF1

56、＋