鲁京辽2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线学案新人教B版必修2

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1、第1课时　平行直线学习目标　1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一　基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．2．符号表达：⇒a∥c.知识点二　等角定理思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理　等角定理如果一个角的两边与另一个角的两

2、边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．知识点三　空间四边形顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.(　×　)2．没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)3．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　×　)类型一　基本性质4的应用例1　

3、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．解　在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝AB，同理GH∥DC，GH＝DC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形．反思与感悟　证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直

4、线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1　如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊

5、DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二　等角定理的应用例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明　(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1

6、M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟　有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2　已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明　(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴

7、MN∥AC，MN＝AC.由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.类型三　空间四边形的认识例3　如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是

8、梯形．证明　(1)∵＝＝λ，∴EH∥BD，∴＝λ.同理，GF∥BD，＝μ.又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形