鲁京辽2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2

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1、第1课时　直线与平面垂直学习目标　1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一　直线与平面垂直的定义及性质(1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直．我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥

2、α把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB：平面α的垂线；平面α：直线AB的垂面；点O：垂足；线段AO：点A到平面α的垂线段；线段AO的长：点A到平面α的距离如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直知识点二　直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？答案　不一定．思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案　

3、当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理　直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条相交直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直⇒a⊥α推论1条件：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面⇒m⊥α推论2条件：两条直线垂直于同一个平面，结论：这两条直线平行⇒l∥m1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　×　)2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　×　)

4、3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(　×　)类型一　直线与平面垂直的判定例1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.证明　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究　若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明　由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟　

5、利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)根据判定定理得出结论．跟踪训练1　如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明　(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD

6、＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.类型二　线面垂直的性质的应用例2　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴A

7、C⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟　平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2　如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB

8、∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.类型三　线面垂直的综合应用例3　如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥CD.证明　如图，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N为PC的中点，则NE∥CD，NE＝CD，又因为AM∥CD，AM＝CD，所以AM∥NE，AM＝NE，即四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.因为PA⊥矩形ABCD所在平面，所以PA⊥CD，又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PA