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《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案（含解析）新人教B版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距
2、F1F2
3、＝2c(c＝)
4、F1F2
5、＝2c(c＝)性质范围
6、x
7、≤a，
8、y
9、≤b
10、x
11、≤b，
12、y
13、≤a对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴
14、长轴长2a，短轴长2b知识点二 椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．1．椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制．( √ )2．椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )3．椭圆的焦距越大椭圆就越扁．( × )4．椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁．( √ )题型一 椭圆的几何性质例1 已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和
15、顶点坐标．解 已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．反思感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为
16、，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解 椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，又e＝，即＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1.∴椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，又e＝，即＝，∴m＝，a＝，c＝.∴椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0
17、)．题型二 利用几何性质求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴长2，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(3)过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有公共焦点．考点 由椭圆的几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)由2b＝2，e＝＝，得b2＝5，＝，a2＝9.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆
18、方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且
19、OF
20、＝c，
21、A1A2
22、＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.(3)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)．又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟 (1)此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时
23、，需注意椭圆的焦点位置．(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得∴椭圆方程为＋＝1.同理可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.故所求的椭圆方程为＋＝
24、1或＋＝1.(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求的椭圆方程为＋＝1.题型三 求椭圆的离心率例3 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案 －1解析 方法一 如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵
25、NF2
26、＝c，∴
27、NF1
28、＝＝＝c，则由椭圆的定义可知
29、NF1
30、＋
31、NF2
32、＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.方法二 由题意知，在焦点三角
