2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（第2课时）椭圆的几何性质的应用学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、第2课时　椭圆的几何性质的应用学习目标　1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一　点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1的位置关系的判定联立消去y得关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三　直线与椭圆的相交弦弦长公式：1．

2、AB

3、＝＝

4、x1－x2

5、＝；2．

6、AB

7、＝

8、y1－y2

9、＝(直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2

10、，y2)，k为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　√　)2．直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　√　)3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)题型一　直线与椭圆的位置关系命题角度1　直线与椭圆位置关系判断例1　直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定答案　A解

11、析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．反思感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k

12、2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为∪.命题角度2　距离的最值问题例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，由图可知y＝x－4距l最近，故最短距离d＝＝＝，P点为切点，即P.反思感悟　解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(

13、3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练2　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25×(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25或k2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.

14、直线m与直线l间的距离d＝＝.所以，最小距离是.题型二　弦长与中点弦问题例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由消去y，可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是

15、AB

16、＝＝＝＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．所以直线l的斜率存在．设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y，得(1

17、＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则x3＋x4＝，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.方法二　设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则有两式相减得＋＝0，整理得kAB＝＝－，由于P(4,2)是AB的中点，∴x3＋x4＝8，y3＋