（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 椭圆的几何性质及应用学案 新人教A版选修2-1

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1、第2课时　椭圆的几何性质及应用学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系．知识点一　点与椭圆的位置关系思考　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？答案　当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系思考　类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置

2、关系．答案　有三种位置关系：相离、相切和相交．梳理　判断直线和椭圆位置关系的方法直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．知识点三　弦长公式设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦长公式：

3、AB

4、＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．(

5、1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√)(2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(√)(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)(4)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1　点与椭圆位置关系的判断例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．考点　椭圆的简单几何性质题点　点与椭圆的位置关系答案　∪解析　由题可知＋>1，解得k<－或k>.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案　

6、∪解析　由＋>1，解得k2>，即k<－或k>.反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1　已知点(3,2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则(　　)A．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．以上都不正确考点　椭圆的简单几何性质题点　点与椭圆的位置关系答案　C解析　由已知，得＋＝1，只有选项C正确．命题角度2　直线与椭圆位置关系的判断例2　对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　

7、由消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟　判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，直

8、线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪.类型二　弦长问题例3　已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长

9、AB

10、.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解　椭圆的标准方程为＋＝1，a＝，b＝2，c＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)．由消去y，得9x2＋10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，

11、AB

12、＝

13、x1－x2

14、＝·＝·＝×＝.反思与感悟　求解弦长时，

15、需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1＋x2和x1x2的值．跟踪训练3　椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若

16、PQ

17、＝，求椭圆方程．考点　由椭圆的简单几何性质求方程题点　由椭圆的几何特征求方程解　∵e＝，∴b2＝a2，∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ＞0，得a2＞32，由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a2)]，∴a2＝36，b2＝9，∴椭圆方程为＋＝1.类型三　椭圆中的