中南大学概率论课件简tl第2章随机变量及其分布

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1、第二章随机变量及其分布机动目录上页下页返回结束第二章随机变量及其分布随机变量离散型随机变量的概率分布随机变量的分布函数连续型随机变量的概率密度随机变量函数的分布在第一章中,我们用样本空间的子集,即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果,这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限.在本章中,我们将用实数来表示随机试验的各种结果,即引入随机变量的概念.这样,不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性,而且可使我们用(数学分析)微积分的方法来讨论随机试验.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下

2、页返回结束2.1随机变量随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.机动目录上页下页返回结束1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).例如，掷一颗骰子面上出现的点数;七月长沙的最高温度；每天从长沙下火车的人数;昆虫的产卵数;机动目录上页下页返回结束2、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说,把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样,二者建立了一种对应关系.机动目录上页下页返回结束e.X(e)R

3、则X的取值随着试验的重复而不同,X是一个变量,且在每次试验中,究竟取什么值事先无法预知,也就是说X是一个随机取值的变量.由此,我们很自然地称X为随机变量.在随机试验中,如果把试验中观察的对象与实数对应起来,即建立对应关系X,使其对试验的每个结果e,都有一个实数X(e)与之对应,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗?e.X(e)R机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(1)它随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它

4、将取哪个值.(2)由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变简记为r.v.(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数;(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值,因而在试验结束之前,只知道其可能的取值范围,而事先不能预知它取什么值,对任意实数区间(a,b),“a

5、变量的讨论中.有关随机变量定义的几点说明:机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,,等表示机动目录上页下页返回结束例如,从某一学校随机选一学生,测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.如机动目录上页下页返回结束一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后,我们就得到X的一个具体的值,记作x.这时,要么米,要么x<1.7米,再去求就没有什么意义了.机动目录上页下页返回结

6、束有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的关系式表达出来.引入随机变量的意义如:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示,它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}机动目录上页下页返回结束可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,就象数学分析中常量与变量的区别那样.机动目录上页下页返回结束随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事

7、件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律机动目录上页下页返回结束随机变量的分类通常分为两类：如“取到次品的个数”,“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如,“电视机的寿命”,实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多,而且还不能一一列举,而是充满一个区间.机动目录上页下页返回结束这两种类型的随机变量因为都是随机变量,自然有很多相同或相似之处;但因其取值方式不同,又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它

8、们各自的特点和描述方法.机动目录上页下页返回结束2.2离散型随机变量的概率分布设X是一个离散型随机变量,它可能取的值是x1,x2,….为了描述随机变量X,我们不仅需要知道随机变量X的取值,而且还应知道X取每个值的概率.机动目录上页下页返回结束这样,我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球