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1、专题7.18：解析几何解题策略选择的研究与拓展【问题提出】1.过原点0作直线与椭圆T:—+y2=1交于A,B两点，点P是椭圆T上一点，且直线P4PB斜率均存在，则2.过原点0作两条相互垂直的直线分别与椭圆?：—+/=!交于人C与B,D,则四边形ABCD面积的最小值为【探究拓展】_r2v2探究1：如图在平面直角坐标系xQy中，E:—+^T=l（a>b>0）crZr的焦距为2,且过点（"，¥）•（1）求椭圆E的方程；（2）若点A,〃分别是椭圆E的左、右顶点，直线/经过点〃且垂直于兀轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP交Z于点M.①设直线的斜率为匕,直线BP的斜率为心，求证：組灯
2、为定值；②设过点M垂直于PB的直线为加.求证：直线加过定点，并求出定点的坐标.消去d可得，2戻一5戾一3=0,解得戾=3或戾二——（舍去），则«2=4,所以椭圆E的方程为—+^-=1.⑵（i）设PgJgO）,M⑵％），则k=】、‘因为A,P,B三点共线，所以儿=少-Xj+2所以,k{k2=因为PCs)1)在椭圆上,所以并=寸(4—彳),(ii)法一:直线BP的斜率为仏直线加的斜率为km=—兀厂2>i2叶一4)+4)彳3+2))i则直线m的方程为y-y°=上玉(兀-2),(“2)+甘—吐业+上―二+)1>iK+27i2,—x.2(.¥
3、~—4)+12—3x72—x,2—x.2—x.=
4、兀+=兀+=0+1),H3+2)X>?1>1>1所以直线加过定点(-1,0).法二：直线OM方程为y=ktx,则M(2,2£J.I2"丄叽心一丁許则直勁方程为:y_2Z:,=—k、(x-2),(1)求椭圆C的标准方程(2)是椭圆C上的两个动点，若直线在、且和为1,求证：直线A3过定点.解：(1)设椭圆C方程：iwc+ny2=l(m>0,n>0,m#n),椭圆}
5、PA,P3的斜率存C过点P(2,l)和点2即)‘=§/(无+D，•:直线m过定点(—1，°)•探究2：已知中心在原点的椭圆C过点P(2,l)和点2(72,贝i]<4m+n=12m4-—/?=12]]22解得心衬可，所以椭圆c的
6、标准方程为+++"(2)设直线PA.PB的斜率分别为点和m(k+m=1且k^m)，则直线PA的方程为y_1二k(兀一2),设A(兀1B(x2,y2)由•y：/兀：2）+1,消去y得（#2+］）兀2一（16疋_8灯兀+16疋_16R_4二0,IW+4）厂=8由题意,2西16疋—16k—48k2-8k-24/+1,二？弘+4A,4^2+14宀1nI,zc[a4k—28k+44k—2则yx=kg-2)+1=-l-—―，二A(2-—―，一1一一)4k+14Zr+14k+1士e8m+4.4m-2x同理可求得「•B(2-—.-1-—^-)4府+14府+1273法一:取^=0,777=1,得A(
7、—2,1),3(——,——)，求得直线AB方程为y=-一x—2,551411423U取£=—1昇72=2,得A(—B(—-—).求得直线方程为y=—兀一2,55171714求得以上两直线交点为0（0,-2）贝J算+28£+44以+1_4疋一4£+3~8k2-8k-2_4(1-幻$一4(1一幻+3_4/一僦+3H，)_8(1—疔―8(1—灯—2_8疋—％—2/.kAD=kBD,即点A,B、D共线・・・•直线AB过定点0(0,-2).4k-24m一24愿+1一4加亍+18R+48/7?+44/+14m2+14m-24k-22恥+4(2欧+作4m2+1(4V+T(4k一2)(4加$+1)一
8、(4加—2)(4疋+1)(8比+4)(4加？+1)-(8加+4)(4疋+1)(16hn2-16k2m)-(Sm2-Sk2)+(4k-4m)_4km-2(k+m)-(32km2-32k2m)^-(16m2-16A:2)+(8k一8/n)Skm+4伙+加)_2k+m=kAB4£2—4k+38疋-8k-24/—4k+3/肿—8k—2、_7(%;)Sk2-Sk-24/+14£一2则直线AB方程为y-(-l——-—)=4ZT+14/_碌+3y=x-2,所以直线过定点(0,-2).弘~—8k—222探究3：如图，在平面直角坐标系中，已知件几分别是椭圆E:二+賽=l(d>b>0)的左、右焦点，
9、4,a~b~3分别是椭圆E的左、右顶点，且正+5丽=0.(1)求椭圆E的离心率；(2)已知点0(1,0)为线段O呂的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接M存并延长交椭圆F于点N,连接MD、并分别延长交椭圆E于点P、2,连接PQ,设直线MTV、P0的斜率存在且分别为/、人，试问是否存在常数久，使得人+加=0恒成立？若存在，求出久的值；若不存在,说明理由.5(a-c),化简得2a=3c,2故椭圆E的离心率为兰.3(2)存在满足条件的常数/—扌点0(1
