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《数学物理方程学习指导书第3章经典方程的建立和定解条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3章经典方程的建立和定解条件在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先耍弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方而要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程;另一方面耍把一个特定的物理现彖本身所貝•有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件.定解条件提岀具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题.3.1经典方程的建立在本节，我们将通过儿个不同的物理模型推导出数学
2、物理方程中三种典型的方程，这些方程构成我们的主要研究对彖.经典方程的导出步骤：（1）确定出所要研究的是哪一个物理Mw；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统小分割出一小部分，再根据相应的物理（力学）规律分析邻近部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次耍因素,即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小），这种相互作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量M（3）把这种关系用数学算式（方程）表达出來，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，虽然是一个古典问题，但対于初学者仍然貝-有一定的启发性.设有一根均匀柔软的细弦，平
3、衡时沿直线拉紧，而几除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响，下面研究弦的微小横向振动，即假定全部运动岀现在一个平而上,而R弦上的点沿垂直于兀轴的方向运动（图3-1）.设弦上具有横坐标为兀的点，在时刻门I寸的位笠为M,位移NM记作显然，在振动过程中位移u是变量兀与r的函数u（x,z）.现在來建立位移m满足的方程.我们把弦匕点的运动先看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况.在弦上任取一弧段Mm',其长为ds,设Q是弦的线密度，弧段亦'两端所受的张力记作T,T',现在考虑孤段麻在(时刻的受力情况，用牛顿运动定律
4、，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加速度.在兀轴方向弧段受力的总和为-Tcosa+rcosa由于弦只作横向振动，所以Tcosa-Tfcosaf=0.(3.1)如果弦的振动很小，并R在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即则由遇―1-兰+必2!4!可知，当a为无穷小量时，cosa与1的差量是a的高阶无穷小量，可以略去不计，因此当a«0,af总0时cosa«l,cosar«1代入(3.1)式，便可近似得到在u方向弧段受力的总和为-Tsma+rsm^-pgds,其中Q是单位弧段的质量,-pgds是弧段槪M'的重力
5、.乂因当a«0,az«0时•tgadu(x,t)sma=,«tga=,sinaf=tga1=5w(x+rfx,Z)dx「L小弧段在吋刻f沿"方向运动的加速度为空?小弧段的质量为pgds,所以ot-Tsina+Trsinaf一pgds«pdsd2u(x9t)dt2(3.2)du(x+dx^t)du(兀91)dxdxd2u(Xyt)dt2-dxy上式左边方括号内的部分是由卄产生必的变化而引起的警^改变量，可用微分代替，即du(x^dxyt)du(Xyt)ddu(x9t)于是dxdxdxdx2丁飞厂一Pgdx=d^u^dx"dx2Td2u(
6、x^t)d2u(x9t)厂L—月2一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即h耍比g人得多，所以乂可以把g略去•dt经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出u(x,t)应近似地满足方程(3.3)d2u2Q纭—r=a—7dt2dx2T这里的/=_.式(33)称为-维波动方程.P如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长度所受外力的F(x,O,显然,在这里(3.1)及(3.2)分别为T'cosar-Tcosa=0,Fds-Tsina+Trsina'一pgds«pdsd2u利用上面的推导方法并略去
7、弦木身的重屋，可得弦的强迫振动方程为d2ud2udx2+/(3),(3.3)'其中于(兀昇)=—F(兀昇)・P方程(3.3)与(3.3)'的差别在于(3.3)'的右端多了一个与未知函数"无关的项,这个项称为自由项，包含有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维波动方程，(3.3)'为非齐次一维波动方程.例2传输线方程対于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流和等•但对于较髙频率的电流(指频率还没有髙到能显著地幅射电磁波的情况)，电路屮导线的自感和电容的效应不可忽略，因而
8、同一支路中电流未必相等.现考虑一來一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体(图3・2).在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i与电压”來描述，此处i与v都是工“图3-2的函数，记作i(x.t)与卩(
