反比例函数的综合题与探究

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1、解:(1)平行四边形过B作BE丄x轴于E,则OE=4,BE=y1反比例函数的综合题与探究1.(2010泉州市)我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图彖可以看作是：将兀轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转a度角后的图形•若它与反比例函数y二—的图象分别交于第一、三象限的点兀B、D,己知点A(—%0)、C(m,0).(1)直接判断并填写：不论a取何值，四边形ABCD的形状一定是(2)①当点B为(p,l)时，四边形ABCD是矩形，试求卩、a、和加有值；②观察猜想：对①屮的加值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有儿个

2、？(不必说理)(3)探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由.(2)①•••点B(pJ)在y=—的图象上,x在RtBOE中,BE1V3tana=—j==——OEJi3a=30°OB=2又・・•点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,・••点B、D关于原点0成中心对称・・・0B二0D二2・・・四边形ABCD为矩形，且A(-m,0)C(m,0)OA=OB=OC=OD=2m=2；②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个;(3)四边形ABCD不能是菱形.法一：・・•点A、C坐标分别为(一加,0)、(加,0)・・・四边形ABCD的对角线AC在兀轴上.又・

3、・•点3、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.・・・对角线AC与不可能垂直.・・・四边形ABCD不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC丄BD,且AC与BD互相平分，VA(-m,0)、C(m,0)・••点A、C关于原点0对称,且AC在x轴上.・・・BD应在y轴上，与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，.••四边形ABCD不可能为菱形.1.(2008湖州市)已知：在矩形AOBC屮，03=4,0/1=3.分別以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平而直角坐标系.F是边BC±的一个动点(不与B,C重合)，过F点的反比例函数y=-伙＞0)的图象与AC边交于

4、点E.x(1)求证：'NOE与厶BOF的面积相等；(2)记S=S,)ef—S“cf，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少?(3)请探索：是否存在这样的点F,使得将ACEF沿对折后，C点恰好落在OB上?若存在，求岀点F的坐标；若不存在，请说明理由.(1)证明：设E(X],yj,F(x2fy2),(2)/AOE与△FOB的面积分别为S「52,・・.&=丄兀切=丄£,52=-x2y2=丄4・•・&=,,即厶AOE与△FOB的而积相等.(2)由题意知：E，F两点坐标分别为哲可bF4,-I4丿2222・•・S*=~ECVCF=-[^--k^3--k△Q22l3JI4过点E作EN丄OB,垂

5、足为TV.由题意得：EN=AO=3,EM=EC=4丄k,MF=CF=3--kt34・・•ZEMN+ZFMB=ZFMB+ZMFB=90°,/.乙EMN=ZMFB.X•/ZENM=ZMBF=90°,•仏ENMs^mbF・EN_EM3~MB4tl-k•・•MB2+BF2=MF2,21解得"瓦.•••BFk_21432・・・存在符合条件的点F,它的坐标为（4,別I32；1.（2009孝感市）如图，点P是双曲线y=£（k,<0,x<0）上一动点，过点户作“轴、yXL轴的垂线，分别交/轴、y轴于/、〃两点，交双曲线尸生（0<厶<

6、知）于从厂两点.X（1）图1中，四边形/饮沪的面积S二（用含人、怡的

7、式子表示）；（2）图2中，设"点坐标为（一4,3）.①判断〃尸与弭〃的位置关系，并证明你的结论；②记S?=S#防-Sp”，S•是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由.解：(1)k2~k｝；(1)①EF//AB.证明：如图，由题意可得A(-4,0),B(0,3),£(—4,—),f(―,3).43・•・PA=3,PE=3+-^-,PB=4,4PF=4+S.3ky.PA312PB412•叽PB••PEc总一12+久'PFA<12+&••PEPF3+—4+亠Z43又••-ZAPB=ZEPF.:.AAPBs△EPF,:.ZPAB=ZPEF.:.EF//AB.②3没有最小值，理由如

8、下:过E作EM丄y轴于点M,过F作FN丄x轴于点N,两线交于点Q.由上知M(0,一怨)，N(紅,0),Q(乞，一忍).而S“efq=Sapef，4334•:&=Sapef—S、oef=S^efq—S“oef=S^eom+Shfon+S矩形omqn飙+知+牛¥乂+石心石伙2+6）2-3・当k2>-6时，S2的值随他的增大而增大，而0Vk2<12.A0