反比例函数与一次函数的综合题

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1、关注反比例函数与一次函数的综合题反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程（组）等综合编拟的解答题。其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向。例1.已知正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。解：因图象过，即，故，即A（3，1）将A（3，1）代入，得所以正比例函数解析式为联立方程组得∴另一交点坐标为（）点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。例2.如图1所示，一

2、次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线。直线AB与双曲线的一个交点为C，CD垂直x轴于点D，。求一次函数和反比例函数的解析式。图1分析：由已知三条线段之间的关系，可求得A、B、C三点的坐标，由此利用待定系数法求出函数解析式。解：由已知，得设一次函数解析式为点A、B在一次函数图象上则一次函数解析式是点C在一次函数图象上当时，y=1，即设反比例函数解析式为，点C在反比例函数图象上则，得故反比例函数解析式是点评：反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关。这类题体现了在知识交汇处命题的特色。例3.如图2所示，反比例函数

3、的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为。（1）求k和b的值；（2）若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。图2分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为（2）∵点A在直线上当y=0时，所以M点的坐标为点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。例4.有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，。将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直

4、角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标。分析：通过画图可发现，点A的位置有2种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B、C的位置也有2种情况（可能点B靠近原点，也可能点C靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性。解：本题共有4种情况。（1）如图3所示，过点A作AD⊥BC1于D（2）如图4所示，过点A作AE⊥BC2于E，则仿（1）可求得，。所以根据双曲线的对称性，得点的坐标为所以点C的坐标分别为：图4点评：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口。此题涉及与反比例函数相关的许多问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，考查学生灵活运用所学知识分析问

5、题、解决问题的能力，具有较好的选拔功能。练一练：如图5所示，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。答案：（1）（2）