初三数学典型题探究

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1、1、数学课上,李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中，点E在AB上，1点D在CB的延长线上，且ED二EC,如图.I试确定线段AE与的大小关系，并说明I理由.IIDI小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论:AAEDB（填“〉”，“〈”或“=”）.（2）特例启发，解答题Id解：题目中，AE与QB的人小关系是：AEDB（填">”，“〈”或“二”）.理由如下:如图2,过点E作EF丨丨BC,交AC于点F.（请你完成以I、•解答过程）（3）拓展结论，

2、设计新题在等边三角形ABC屮，点E在直线AB上，点Q在直线BC上，且ED=EC.若AABC的边长为1,AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.【答案】（1）=.（2）=.方法一：如图，等边三角形ABC中，EABZABC=ZACB=ABAC=60°,AB=BC=AC.•:EF//BC,:.ZAEF=ZAFE=60°=ZBAC,/.AAEF是等边三角形，,AE=AF=EF,AAB-AE=AC-AF^BE=CF,乂・・•ZABC=ZEDB+ABED=60°,ZACB=ZECB+ZFCE=60°•・・ED=EC,:.ZEDB=上ECB,:.ABED=

3、ZFCE,•.・.DBE=bEFC,・•.DB=EF,AE—BD.方法二：在等边三角形ABC小，ZABC=ZACfi=60°,ZABZ)=120°,•・・ZABC=ZEDB+ZBED,ZACB=ZECB+AACE.•・・ED=EC,:.ZEDB=ZECB,.•・ABED=乙ACE、•:FE//BC,:.ZAEF=ZAFE=60°=ABAC.••・AAEF是正三角形，ZEFC=180°-ZACB=l20°=ZABDEFC=DBE,:.DB=EF,而由AEF是正三用形可得EF=AE.DEC类比归纳CE1AMCE1AM在图（1）屮，若—则竺的侑

4、等于：若—=的侑等CD3BNCD4BNCE1AM于；若竺=—5为整数），则——的值等于・（用含72的式子表示）CDnBN联系拓广如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点£（不与点C,D重合）,4«1CF1AM压平后得到折痕诙,设荒呻心）,而〒则亦的值等于——•（用含DECtn,n的式子表示）29.问题解决解：方法一：如图（1-1）,连接BM,EM,BE.F由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.・・・MN垂直平分BE.・・・BM=EM,BN=EN.1分・・•四边形ABCD是正方形…・・ZA二ZQ二ZC=90°,

5、AB=BC=CD=DA=2・CE1・・・——=CE=DE=1.设BN=x,则NE=x,NC=2-x.CD2在Rt厶CNE中，NE1=CN2+CE2.:.x2=（2-x）2+12.WWx=-,BPBN=-.3分v744在Rt/XABM和在Rt/XDEM屮，AM2+AB2=BM2fDM2+DE2=EM2,:.AM2+AB2=DM2+DE2.设AM=y,则DM=2—y,・・・/+22=（2-y）?+12・解得）丄，艮卩AM=丄・44AM1■••=—•BN5方法二：同方法一，BN=-.45分6分7分3分如图（1-2）,过点N做NG〃CD交AD于点G,连接

6、BE.・・・AD//BC,・・・四边形GDCN是平行四边形..・・NG=CD=BC・同理，四边形ABNG也是平行四边形.：・AG=BN=>.4•・・MN丄BE,「・ZEBC+乙BNM=90°.•・・NG丄BC,.・.ZMNG+ABNM=90°,ZEBC=ZMNG.在厶BCE与HNGM中ZEBC=乙MNG,

7、）（本题满分12分）己知梯形ABCD,AD〃BC,AB丄BC,AD=1,AB=2,BC=3.问题1：如图1,P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等，为什么？如图2,P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD,请问对角线PQ,的长是否存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E,使DE=PD,以PE、PC为边做平行四边形PCQE,请探究对角线PQ,的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。问题4：如

8、图3,P为DC边上任意一点，延长PA到E,使AE=nPA,（n为常数）以PE、PB为边做平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存