2019年高中数学 2-4-1 抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学2-4-1抛物线及其标准方程课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题6分，共36分)1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)A．开口向上，焦点为(0,1)　B．开口向上，焦点为(0，)C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为(0，)解析：由y＝4x2得x2＝y，∴开口向上，焦点坐标为(0，)．答案：B2．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝2xB．x2＝4yC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：由焦点在x＝1上，故焦点坐标为(1,0)，∴抛物线开口向右且＝1，∴p＝2，∴方程为y2＝2px

2、＝4x.答案：D3．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则a的值为(　　)A．－4B．2C．－8D．4解析：由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且＝2，∴p＝4，故方程为y2＝－8x，∴a＝－8.答案：C4．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为(　　)A．(，±)B．(，±)C．(，±)D．(，±)解析：设P(x，y)，则点P到焦点距离为2，∴点P到准线x＝－的距离也是2，即x＋＝2，∴x＝，∴y＝±.故选B.答案：B5．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是(　　)A．圆B．椭

3、圆C．双曲线一支D．抛物线图1解析：如图1，以直线l为y轴，以过点A且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设动圆的圆心为P，则

4、PA

5、＝

6、PB

7、.即动点P到定点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，动圆圆心的轨迹为抛物线．答案：D6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－2解析：由y＝x2得x2＝4y，∴F(0,1)．设PF中点M(x，y)，P(x0，y0)则即.又(x0，y0)在x2＝4y上，故4x2＝4(2y－1)得x2＝2y－1.答

8、案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________．解析：由已知可设抛物线方程为x2＝my代入点(2,4)得4＝4m，∴m＝1故方程为x2＝y.答案：x2＝y8．已知抛物线y＝x2，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A、B两点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为________．解析：由抛物线的方程可得：x2＝4y，∴焦点坐标F(0,1)，将y＝1代入方程可得：x＝±2.∴

9、AB

10、＝4，∴S△OAB＝·

11、OF

12、·

13、AB

14、＝×1×4＝2.答案：29．设F为抛物线y2＝4

15、x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

16、

17、＋

18、

19、＋

20、

21、＝________.解析：由y2＝4x得F(1,0)，准线方程为x＝－1，又＋＋＝0，可知F是△ABC的重心，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3.又∵抛物线定义可得

22、

23、＝x1＋1，

24、

25、＝x2＋1，

26、

27、＝x3＋1∴

28、

29、＋

30、

31、＋

32、

33、＝x1＋x2＋x3＋3＝3＋3＝6.答案：6三、解答题(共40分)10．(10分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点P(，)，求抛物线和双曲线

34、的方程．图2解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，∴可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵点P(，)在抛物线上，∴()2＝2p×，p＝2，∴y2＝4x.∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，∴－c＝－1，c＝1，即有a2＋b2＝1，　①又∵点P(，)在双曲线上，∴－＝1.　②联立①②，解得a2＝，b2＝，双曲线方程为4x2－y2＝1.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y2＝4x和4x2－y2＝1.11．(15分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，

35、求此抛物线方程．解：设△AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y＝2x，则OB边的方程是y＝－x.由可得点A坐标为(，p)．由可得点B坐标为(8p，－4p)．∵

36、AB

37、＝5，∴＝5.∵p>0，解得p＝，∴所求的抛物线方程为y2＝x.12．(15分)已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．图3解：(1)依题意知

38、，曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．∵焦点到准线的距离p＝2，∴曲线C方程是x2＝4y.(2)∵圆M的