2018-2019年高中数学 第一章 计数原理 1.1 第二课时 两个计数原理的综合应用学案 新人教A版选修2-3

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1、第二课时　两个计数原理的综合应用某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[思路导引]　由题意可知有1人既会英语又会日语，分类讨论．[解]　由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．故共有2＋6＋12＝20(种)选法．选(抽)取与分配问题的常见类型

2、及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[跟踪训练]1．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)A．16种B．18种C．37种D．48种[解析]　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配

3、方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.[答案]　C2．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？[解]　第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理可知，共有3×3×1×1＝9种取法．题型二　用计数原理解决组数问题用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数

4、？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？[思路导引]　排数时“0”不能在首位，但电话号码“0”可以在首位．[解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法

5、，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题①组成的数为“奇数”、“偶数”、“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等．(2)解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高

6、位．[跟踪训练]1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为(　　)A．24B．18C．12D．6[解析]　由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B.[答案]　B2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1

7、42,275等)，那么所有凸数个数是多少？[解]　分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个；当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12