高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）学案新人教a版选修2-3

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1、1.1计数原理（3）【学习目标】对两类计数原理的应用加以分类.【重点难点】重点:掌握两类计数原理的分类.难点:如何对两类分类计数题型进行计数.【学法指导】区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.【学习过程】一．课前预习正确区分和理解两个原理(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．(2)用两个计数原理解决计数问题时，最重要的

2、是在开始计算之前要进行仔细分析，确定需要分类还是分步．①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．②分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．③对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．二．学习过程利用模型法解决计数问题例1.3个人要坐在

3、一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同坐法有多少种？解　3个人在一排8个空座位上坐下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位形成的空座位当中．如图所示：(1)○○○○○　　　(2)○○□○○○(3)○○□○○□○　(4)○□○□○○□○○表示没有坐人的空位　□表示已经坐人的位置由于每人左右都要有空位子，因此将第一个人连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法(如图中的(1)到(2))；然后将第二个人连同他的座位插入时，只有3种插法了(如图中的(2)到(3))；最后将第

4、三个人连同他的座位插入时，只有2种插入的方法了(如图中的(3)到(4))．这时，我们再根据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同的方法共有4×3×2＝24(种)．【反思感悟】　本题用“○”表示没有坐人的空位，用“□”表示已经坐人的位置，画图分析为我们构建分步乘法计数原理的模型铺平了道路．模型法就是通过构建相关图形，利用形象直观的图形来构建两个原理的模型．模型法不仅可以帮助我们准确理解题意，而且还可以帮助我们有效地分析问题，从而建立两个原理的模型，使问题顺利地解决．二、利用转化法解决计数问题例2把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的

5、三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有________种．答案　120解析　不妨设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入了x1，x2，x3个小球，依题意有问题转化为在条件②下求不定方程①的解的个数，可考虑用分类计数的方法．当x1＝1时，x2＝2,3，…，16，这时x3随之而定，从而共有15种放法．当x1＝2时，x2＝2,3，…，15，这时x3随之而定，从而共有14种放法．……当x1＝15时，只有x2＝2，x3＝3，仅有一种放法．根据分类原理，符合要求的放法共有N＝15＋14＋…＋2＋1＝120(种)．【反思感

6、悟】　将问题转化为不定方程的整数解组数问题，利用计数原理计数．三、涂色问题例3用5种不同的颜色(给如图所示的5个区域涂色)，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，所有不同的涂色方法有多少种？解　第1步涂A区域有5种不同的涂法，第2步涂B区域有4种不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E区域，都有3种不同涂法．依据分步乘法原理，所有不同的涂色方法有5×4×3×3×3＝540(种)．【课堂小结】1．对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个原理解决问题．首先要明确是先

7、“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．2．一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来．(2)间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数，即正难则反．(3)转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题．在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理．(4)模型法模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法．模型

8、法是解决计数问题的重要方法．【当堂检测】1.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有(　　)A．3种　　　B．4种