2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用（二）

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1、2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用（二）【考点指津】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极植与其导数的关系，增强数形结合的思维意识，并能灵活利用导数求有关函数的极值．2．掌握函数f(x)（定义在[a，b]上且在(a，b)内可导）的最大值与最小值的求法结合函数图象，直观理解函数最大、小值的概念，熟练掌握利用导数求函数最大、小值的方法，并能利用导数解决实际生活中的一些最大、小值问题．【知识在线】1．函数f(x)=x2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为（）A、f(1)，f(5)B

2、、f(2)，f(5)C、f(1)，f(2)D、f(5)，f(2)2．已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)，在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为（）A、-37B、-29C、-5D、-113．若函数f(x)=x3-3x在区间[，]的最小值是m2-2，则实数m的值为____________．4．如图，将边长为a的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形后，将四边向上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器，求此容器的体积最小值．【讲练平台】例1函数y=x3-x2-2x在闭区间[-1，1

3、]上的最小值是________．分析先求出函数在（-1，1）上的极值，再与f(-1)，f(1)作比较，找出最小的一个便是．解对于y=x3-x2-2x来说，y’=x2-x-2=(x+1)(x-2)当x∈(-1，1)时，y’<0，所以函数在区间[-1，1]上的减函数∴函数y在x=1处取得最小值，最小值为-点评函数f(x)在[a，b]上单调递增，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(a)及f(b)；如果f(x)在[a，b]上单调递减，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(b)及f(a)例2试讨论方程x3-3ax+

4、2=0（a>0）解的个数．分析令f(x)=x3-3ax+2，讨论的f(x)单调性及最大值与最小值，结合图象可得．设f(x)=x3-3ax+2，现先来求函数f(x)的极值．其导函数为f’(x)=3x2-3a，由f’(x)=0可得x=±，列表讨论如下：X(-∞，-)-(-，)(，+∞)f’(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗由此可得，函数在x=-处取得极大值2+2a；在x=处取得极小值2-2a．Oxy-根据列表讨论，可作出函数的草图∵a>0，显然极大值2+2a>0，故当极小值2-2a<0，即a>1时，方程x3

5、-3ax+2=0有三个不同实根；当极小值2-2a>0，即0

6、求．解f’(x)=3ax2+2bx+c已知x=1与x=-1时f(x)有极值，因此f’(1)=3a+2b+c=0（1）f(-1)=3a-2b+c=0（2）又已知f(1)=-1，所以a+b+c=-1（3）联立（1）（2）（3）得方程组，解此方程组得a=，b=0，c=-点评根据条件确定字母系数的问题，应转化为方程成方程组问题，通过解方程或解方程组确定系数的值．例4已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数．且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．（1）求c的值；（2

7、）求证：f（1）≥2；（3）求

8、α-β

9、的取值范围．分析本题是考查导数应用的综合题，第（1）问由f`（0）=0不难得出；第（2）问由f（x）在[0，2]上是减函数确定b的取值范围，然后由的b的取值范围易得f（1）的取值范围．解（1）由题意得：f'(x)=3x2+2bx+c，∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，∴当x=0时，f（x）取到极大值，f'(0)=0，∴c=0．（2）∵f（2）=0，∴d=-4(b+2)．f'(x)=3x2+2bx=0的两个根分别为x1=0，x2=-，∵函数f（x）

10、在[0，2]上是减函数，∴≥2，∴f（1）=b+d+1=b-4(b+2)+1=-3b-7≥2．（3）∵α，2，β是方程f（x）=0的三根，可设f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），∴f（x）=x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ，∴∴∴∵b≤-3，∴

11、α-β

12、≥3．【知能集成】1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f’(x)；（2）求方程f’(x)=0的根；（