2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用(二)

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1、2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用(二)【考点指津】1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极植与其导数的关系,增强数形结合的思维意识,并能灵活利用导数求有关函数的极值.2.掌握函数f(x)(定义在[a,b]上且在(a,b)内可导)的最大值与最小值的求法结合函数图象,直观理解函数最大、小值的概念,熟练掌握利用导数求函数最大、小值的方法,并能利用导数解决实际生活中的一些最大、小值问题.【知识在线】1.函数f(x)=x2-4x+1在[1,5]的最大值和最小值分别为()A、f(1),f(5)B

2、、f(2),f(5)C、f(1),f(2)D、f(5),f(2)2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为()A、-37B、-29C、-5D、-113.若函数f(x)=x3-3x在区间[,]的最小值是m2-2,则实数m的值为____________.4.如图,将边长为a的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形后,将四边向上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器,求此容器的体积最小值.【讲练平台】例1函数y=x3-x2-2x在闭区间[-1,1

3、]上的最小值是________.分析先求出函数在(-1,1)上的极值,再与f(-1),f(1)作比较,找出最小的一个便是.解对于y=x3-x2-2x来说,y’=x2-x-2=(x+1)(x-2)当x∈(-1,1)时,y’<0,所以函数在区间[-1,1]上的减函数∴函数y在x=1处取得最小值,最小值为-点评函数f(x)在[a,b]上单调递增,则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(a)及f(b);如果f(x)在[a,b]上单调递减,则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(b)及f(a)例2试讨论方程x3-3ax+

4、2=0(a>0)解的个数.分析令f(x)=x3-3ax+2,讨论的f(x)单调性及最大值与最小值,结合图象可得.设f(x)=x3-3ax+2,现先来求函数f(x)的极值.其导函数为f’(x)=3x2-3a,由f’(x)=0可得x=±,列表讨论如下:X(-∞,-)-(-,)(,+∞)f’(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗由此可得,函数在x=-处取得极大值2+2a;在x=处取得极小值2-2a.Oxy-根据列表讨论,可作出函数的草图∵a>0,显然极大值2+2a>0,故当极小值2-2a<0,即a>1时,方程x3

5、-3ax+2=0有三个不同实根;当极小值2-2a>0,即0

6、求.解f’(x)=3ax2+2bx+c已知x=1与x=-1时f(x)有极值,因此f’(1)=3a+2b+c=0(1)f(-1)=3a-2b+c=0(2)又已知f(1)=-1,所以a+b+c=-1(3)联立(1)(2)(3)得方程组,解此方程组得a=,b=0,c=-点评根据条件确定字母系数的问题,应转化为方程成方程组问题,通过解方程或解方程组确定系数的值.例4已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数.且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.(1)求c的值;(2

7、)求证:f(1)≥2;(3)求

8、α-β

9、的取值范围.分析本题是考查导数应用的综合题,第(1)问由f`(0)=0不难得出;第(2)问由f(x)在[0,2]上是减函数确定b的取值范围,然后由的b的取值范围易得f(1)的取值范围.解(1)由题意得:f'(x)=3x2+2bx+c,∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴当x=0时,f(x)取到极大值,f'(0)=0,∴c=0.(2)∵f(2)=0,∴d=-4(b+2).f'(x)=3x2+2bx=0的两个根分别为x1=0,x2=-,∵函数f(x)

10、在[0,2]上是减函数,∴≥2,∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-3b-7≥2.(3)∵α,2,β是方程f(x)=0的三根,可设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),∴f(x)=x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ,∴∴∴∵b≤-3,∴

11、α-β

12、≥3.【知能集成】1.求可导函数极值的步骤:(1)求导函数f’(x);(2)求方程f’(x)=0的根;(

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