2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1-1

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1、2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1-1[学习目标]　1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化的意识．[知识链接]设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(a，b>0)?答：设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0

2、积不大于这两个正数的和的平方的.若设这两个正数分别为a，b，则有≥ab(a>0，b>0)，即≥(a，b>0)，当且仅当a＝b时等号成立．[预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.要点一　用料最省问题例1　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，

3、两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解　如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x千米，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0

4、A、D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省．规律方法　用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1　一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解　设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝

5、10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.q′＝0.012v－＝(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，∴当v＝20时取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．要点二　面积、容积的最值问题例2　如

6、图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解　设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，cm，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，∴S′＝＋25＝＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20

7、<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．规律方法　(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关

8、系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解　如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h，得h＝，则S(