2019-2020年高考数学专题复习 第26讲 平面向量的数量积练习 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学专题复习第26讲平面向量的数量积练习新人教A版[考情展望]　1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．一、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是

10、a

11、cosθ；向量b在a方向上的投影是

12、b

13、c

14、osθ.3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的乘积．二、平面向量数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a；2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示　已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模

19、a

20、＝

21、a

22、＝数量积a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

27、a·b

28、与

29、a

30、

31、b

32、的关系

33、a·b

34、

35、≤

36、a

37、

38、b

39、(当且仅当a∥b时等号成立)

40、x1x2＋y1y2

41、≤·1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于(　　)A．(26，－78)　　　　　　B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】　∵b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】　A2．已知向量a、b满足

42、a

43、＝1，

44、b

45、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.【解析】　向量a、b满足

46、a

47、＝1，

48、b

49、＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.【答案】　C3．已知向量a，b和实数λ

50、，下列选项中错误的是(　　)A．

51、a

52、＝B．

53、a·b

54、＝

55、a

56、·

57、b

58、C．λ(a·b)＝λa·bD．

59、a·b

60、≤

61、a

62、·

63、b

64、【解析】　

65、a·b

66、＝

67、a

68、

69、b

70、

71、cosθ

72、，故B错误．【答案】　B4．已知向量a，b满足a·b＝0，

73、a

74、＝1，

75、b

76、＝2，则

77、2a－b

78、＝(　　)A．0B．2C．4D．8【解析】　∵

79、a

80、＝1，

81、b

82、＝2，a·b＝0∴

83、2a－b

84、＝＝＝2.【答案】　B5．(xx·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C．－D．－【解析】　由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上

85、的投影为＝＝.【答案】　A6．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.【解析】　

86、a

87、＝

88、b

89、＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－.∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.【答案】　2考向一[077]　平面向量数量积的运算　(1)(xx·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.(2)(xx·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值

90、为________；·的最大值为________．【思路点拨】　(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．或用数量积的几何意义求解【尝试解答】　(1)如图所示，＝＋，＝＋＝－，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝

91、

92、2－

93、

94、2＝9－25＝－16.(2)法一　如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则＝(t，－1)，＝(0，－1)．故·＝1.又＝(1,0)，∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴·的最大值为1

95、.法二　∵ABCD是正方形，∴＝.∴·＝·＝

96、

97、

98、

99、cos∠EDA＝

100、

101、

102、

103、cos∠EDA＝

104、

105、·

106、

107、＝

108、

109、2＝1.又E点在线段AB上运动，故为点E与点B重合时，在上的投影最大，此时·＝

110、

111、

112、

113、cos45°＝×＝1.所以·的最大值为1.【答案】　(1)－16　(2)1　1规律方法1　1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特