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1、第3讲平面向量的数量积【2014年高考会这样考】1．考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直的充要条件的应用．2．以平面向量的数量积为工具，考查其他综合应用题，常与三角函数等知识结合．考点梳理1．平面向量的数量积②当θ＝0°时，a与b_________．当θ＝180°时，a与b_________．当θ＝90°时，a与b__________．共线同向共线反向互相垂直(2)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量_____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(
2、3)几何意义：数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与b在a的方向上的射影_________的乘积，或b的长度
5、b
6、与a在b方向上的射影_________的乘积．
7、a
8、
9、b
10、cosθ
11、a
12、
13、b
14、cosθ
15、b
16、cosθ
17、a
18、cosθ设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝
19、a
20、
21、b
22、cosθ＝x1x2＋y1y2.2．平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．3．平面向量数量积的运算律两个结论(1)两个向量a与b的
23、夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．三点提醒(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．A
24、．a∥bB．a⊥bC．
25、a
26、＝
27、b
28、D．a＋b＝a－b解析由
29、a＋b
30、＝
31、a－b
32、，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.答案B考点自测1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足
33、a＋b
34、＝
35、a－b
36、，则下面结论正确的是()．A．30°B．60°C．120°D．150°答案C2．若非零向量a，b满足
37、a
38、＝
39、b
40、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()．答案D答案－16【例1】►(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.[审题视点](1)直接利用数量积的坐标运算即可；(2
41、)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求解．考向一平面向量数量积的运算解析(1)依题意可得8a－b＝(6,3)，∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝
42、a
43、
44、b
45、cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．【例2】►(1)已知向量a，b满足a·b＝0，
46、a
47、＝1，
48、b
49、＝2，则
50、2a－b
51、＝________.[审题视点](1)利用
52、a
53、2＝a·a求解；(2)找出平行四边形的面积与
54、a
55、·
56、b
57、的关系式．考向二向量的夹
58、角与向量的模(2)已知a与b是两个非零向量，且
59、a
60、＝
61、b
62、＝
63、a－b
64、，则a与a＋b的夹角为________．解析(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4
65、a
66、2－4a·b－3
67、b
68、2＝61.又
69、a
70、＝4，
71、b
72、＝3，∴a·b＝－6.【训练2】(1)已知
73、a
74、＝4，
75、b
76、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，则
77、a＋b
78、＝________.(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)[审题视点](1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)
79、证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝
80、a
81、2－
82、b
83、2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．考向三平面向量数量积的综合应用【例3】►已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0
