2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1.1 数学归纳法原理导学案 新人教B版选修4-5

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1、3.1.1　数学归纳法原理1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n取初始值n0时命题成立；(2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测1.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.B.C.＋D.－解析　f(n)＝＋＋＋…＋f(

2、n＋1)＝＋＋…＋＋＋∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D.答案　D2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是(　　)A.2k＋1B.C.2(2k＋1)D.解析　n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C.答案　C3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.解析　a1＝1，

3、a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2.答案　an＝n2知识点1　利用数学归纳法证明等式【例1】通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明.－1＋3＝________；－1＋3－5＝________；－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________.解　上面四个式子的结果分别是2，－3，4，－5，由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即－1＋3－

4、5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk当n＝k＋1时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1).即n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)知，命题对于n∈N*都成立.●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.1.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝

5、，右边＝，命题成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时命题成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋.上式表明当n＝k＋1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.【例2】证明＋＋＋…＋＋＝1－(其中n∈N*)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝.∴当n＝1时，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝＝1－＝右边.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任何n

6、∈N*都成立.解　不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，就是＋＋＋…＋＋＝1－，那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－＝右边.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.●反思感悟：在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把“归纳假设”n＝k时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找

7、n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明：…＝(n≥2).证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，等式成立，即…＝则当n＝k＋1时，…＝＝·＝，即n＝k＋1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n(n≥2)，原等式成立.知识点2　用数学归纳法证明不等式【例3】用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2).证明