高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3_1 数学归纳法原理学案 新人教b版选修4-5

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1、3．1数学归纳法原理[读教材·填要点]1．数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题p(n)，可以用以下两个步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立；(2)假设当n＝k(k为自然数，且k≥n0)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．2．数学归纳法的基本过程[小问题·大思维]1．在数学归纳法中，n0一定等于0吗？提示：不一定．n0是适合命题的自然数中的最小值，有时是n0＝0或n0＝1，有时n

2、0值也比较大，而不一定是从0开始取值．2．数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明．3．数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。用

3、数学归纳法证明恒等式[例1]　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[思路点拨]　本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并．[精解详析]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时命题成立，即有1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋

4、，从而可知，当n＝k＋1时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立．(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．(2)应用数学归纳法时的常见问题①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝0，有时需验证n＝1，n＝2.②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职

5、，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，＋＋…＋＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．用数

6、学归纳法证明整除问题[例2]　求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路点拨]　本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明．[精解详析]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份

7、公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行

8、拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋