资源描述：
《2017_2018学年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式31数学归纳法原理学案新人教b版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1数学归纳法原理抽象问题情境化，新知无师自通［对应学生用书P40］［读教材・填要点］1.数学归纳法原理対于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题phi）,可以用以下两个步骤來证明它的正确性：（1）证明当刀取初始值处（例如办）=0,巾=1等）时命题成立；（2）假设当n=klk为自然数,IU2处）时命题正确,证明当n=k+1时命题也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值处开始的所有自然数都正确.2.数学归纳法的基本过程（1）证明：n=兀）（心€N）时命题成立.（2）证明：若n=fe（fe€N^且n,）时命题成立•则nk+1时命题也成立.奠基假设与递
2、推V""对所有的n（N・n（））命题成立•［小问题・大思维］1.在数学归纳法中，处一定等于0吗？提示：不一定.m是适合命题的自然数中的最小值，有时是心=0或心=1,有时处值也比较大，而不一定是从0开始取值.2.数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明.3.数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证门=处时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础.第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于77取笫一个值处后面的所有自然数也都成立.高频考点题组化.名师一点就通［
3、对应学生用书P40］用数学归纳法证明恒等式［例i］用数学归纳法证明」—存卜和•・・+尙-棊士r+忌+・・•+£©+).［思路点拨］本题考查数学归纳法在证明恒等式屮的应用，解答本题需要注意等式的左边有2/7项，右边有/?项，由斤到&+1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“门=k”到"=&+1”时，要注意项的合并.［精解详析］(1)当刀=1时，左边=1—#=*,右边=*,命题成立.(2)假设当n=k(k2,且圧N+)时命题成立,即有1,11,.11I—一+一——+•••+—2342k-2k则当n=k+时,专7寺的-品=+~F+,
4、斤+2斤+3〒〒2斤+12W+2'从而可知，当n=k+时，命题亦成立.由(1)(2)可知，命题对一切正整数刀均成立.<么g鬧.彳连总结(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述〃=处时命题的形式，二是准确把握由n=k到n=k+l吋，命题结构的变化特点.(2)应用数学归纳法时的常见问题①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是刀=0,有时需验证刀=1,n=2.②对n=k+［时式子的项数以及n=k与n=k+Y的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.③“假设n=k时命题成立，利用这一假设证明n=k+1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问
5、题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.塑式•之血1.用数学归纳法证明：对任意的/7WN+,17X33X541n2/7-1=2/?+r证明：⑴当/7=1吋，左边=右边=2x；+］左边=右边，等式成立.(2)假设当/尸&(圧N+且^1)吋等式成立，即有IX3+3X5+***+=2k+T则当n=k+1时,[><33X5…27+12£+12+2W+1+2£+3k2&+3+1=2A+3_A+1==2斤+3=2斤+1+1，所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知,对_切/7GN+等式都成立.用数学归纳法证明整除问题［例2］求证
6、：二项式,"一能被x+y整除.［思路点拨］本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将—.产进行分解因式得出x+y,由于直接分解有闲难，故釆用数学归纳法证明.［精解详析］⑴当刃=1吋，x—y=(x+y)(x—y),・•・能被x+y整除.(2)假设/?=心Ml,且朋N+)时,xk—yk能被x+y整除，当n=k+时，即尹产+2=#•尹y•严_2/2k2低」2kf22—X(x—y)+y(x—y).%：xk—yk与x—y都能被x+y整除，・・・,(尹一戸)+戸(,一声)能被卄尸整除.即“=k+1时,尹+2_严+2能被x+y整除.由(1)(2)可知，对
7、任意的正整数刀命题均成立.利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对；进行拼凑，即减去；6尸再加上;6严，然后重新组合，目的是拼凑出心斤时的归纳假设，剩余部分仍能被1.求证：//+(/?+1)3+(/?+2)3能被9整除.证明：⑴当/7=1时,1'+(1+1)'+(1+2)3=36,能被9整除，命题成立.(2)假设n=k时,命题成立，即^+a+i)$+a+2)3能被9整除.当n=k+1时，a+l)3+(A+2)3+a+3)$=(斤+1)'+«+2尸+护+3#・3+3A・F
8、+3：'=#+钦+1)'
