§1.4 条件概率

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1、§1.4条件概率1.4.1条件概率的定义在计算概率时，常常还要考虑到事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，我们记为P(A

2、B).通常P(A)≠P(A

3、B).例1.4.1一箱产品共有100件，其中5件不合格，且这5件不合格品有3件次品，2件废品.今从箱中任意取出一件，求（1）A=“取得废品”的概率；（2）已知取得的是不合格品，求它是废品的概率。第二讲古典概率与条件概率从上例中，可以看出.产生不等的原因是,当B发生后，可供选择的样本点范围缩小了，样本空间由变为B，故这时再发生A的概率就起了变化.设在n次试验中，事件B及

4、事件AB各发生了次,于是在事件B发生的条件下,事件A发生的频率当时,频率会接近于概率,故可得定义1.4.1设A,B为同一随机试验中两个事件,且为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.条件概率满足概率的公理化的三条件,即1)2)3)设可列个事件两两不相容,则注对于条件概率,有时使用到第二讲古典概率与条件概率例1.4.2设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%.从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此件产品为一等品的概率.的大小关系究竟如何?从1,2,…,9中任取一个数,A=“抽得一数为3的倍数”;B=“抽得一

5、数为偶数”;C=“抽得一数大于8”则P(A)=__,P(A

6、B)=__,P(A

7、C)=__.例设A，B为两事件，P(A)=0.9,P(B)=0.85,,则例已知求第二讲古典概率与条件概率例设求证例设1.4.2乘法公式如果事件A,B满足,由条件概率的公式有这就是概率的乘法公式.概率的乘法公式有以下的推广形式,当时有一般地,设是n个事件,且例1.4.4已知P(A)=0.6,P(C)=0.2,P(AC)=0.1,例1.4.4签筒中放有10支签,其中只有一只是“好”签,10人依次取走一签,求第人取到“好”签的概率.例一袋中有7个

8、红球5个白球，从中作无放回抽取4次，求摸得顺序为红白红白的概率.例空战中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率.1.4.3全概率公式与贝叶斯公式例1.4.5某厂使用甲,乙,丙三个产地的同型号的电子元件用于生产电视机,其来自三地的元件数量各占24%,30%,46%,且它们的合格率分别为94%,96%,98%.(1)若任取一元件,问取到的是合格品的概率是多

9、少?(2)若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地？在第(1)问中，我们虽不知元件来自何地,但知道必是甲、乙、丙三地之一，合格率的大小与产地有关；而(2)问则是已知结果而追溯原因，并要求对此作出决策。为此我们可以引出解决这两类问题的方法，这就是全概率公式、贝叶斯公式.定义1.4.2设某随机试验的样本空间为,为中一组事件,如果：两两不相容;2.则称为样本空间的一个划分,或是一个完备事件组.定理1.4.1设构成样本空间的一个划分且B是任一事件,则(i)(全概率公式）(ii)(贝叶斯公式)若例1.1.5的解设分别

10、表电子元件来自甲、乙、丙三地，则构成的一个划分.又设B表示“取得的元件为合格品”，则有从这个例子可以看到,在全概率公式中,构成划分的事件是导致结果发生的原因,故叫先验概率;而在贝叶斯公式中,叫后验概率.在全概率与贝叶斯公式中，关键是找划分.那么常见的划分方法有那些呢？总的说来，就是导致结果发生的所有原因(可能)构成一个划分.(1)原因划分法；(2)自然划分法：即是使用事件A及其逆事件作为的一个划分：例1.4.6设机器正常时,生产合格品的概率为95%,当机器有故障时,生产合格品的概率为50%,而机器的无故障率为95%.

11、某天上班时,工人生产的第一个产品为合格品,问能以多大把握判断该机器是正常的?(0.973)解设A表示“机器正常”，则构成一个划分，又设B表示“生产合格品”，由题设有所以有例设某地区消化性溃疡患病率是0.03，用钡餐透视进行检验，溃疡患者被诊断有溃疡的可能性为82%，不是溃疡患者而被诊断为有溃疡的可能性为2%，某人经钡餐透视后被诊断为有溃疡，求他确定是溃疡患者的概率为多少？用“胎甲蛋白法”普查癌症,已知确有癌症者,查出为阳性的概率为0.95;未患有癌症者,查出为阴性的概率为0.95.一人生活在低发病区,该地区癌症发病率为0

12、.0005;另一人生活在高发病区,该区癌症发病率为0.01.若两人均查出为阳性,问他们真正患有癌症的概率各为多少?(3)分步划分法：即完成一个过程须分两步，则完成第一步时的一切可能的情况构成样本空间的划分.例有甲,乙两个袋子,甲袋中装有3个红球和2个白球,乙袋中装有2红球和6个白球.今从甲袋中任取两球放入乙袋,再从乙