§1.3、1.4 概率论与数理统计教程

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1、§1.3概率的性质概率的定义就称P为F上的概率测度，简称为概率，称(,F,P)为概率空间.性质1.3.1P(φ)=0.注意:逆不一定成立.性质1.3.2(有限可加性)若AB=φ，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)P()=1P(A).1.3.1概率的可加性(1)Φ=Φ+Φ+Φ+…P(Φ)=P(Φ+Φ+Φ+…)=P(Φ)+P(Φ)+P(Φ)+…(公理3可列可加性)P(Φ)=P(Φ)+P(Φ)+…,故P(Φ)=0(2)A1+A2+…+An=A1+A2+…+An+Φ+Φ+…P(A1+A2+…+An)=P(A1+A2+…+An+Φ

2、+Φ+…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P(Φ)+P(Φ)+…故P(ΣAi)=ΣP(Ai)(i=1,2,…,n).(3)A1,A2,…,An,…构成一个完备事件组,即它们互不相容,且ΣAi=Ω.所以,ΣP(Ai)=P(ΣAi)=P(Ω)=1.概率性质的证明性质1.3.4若AB，则P(AB)=P(A)P(B)；若AB，则P(A)P(B).性质1.3.5P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2概率的单调性(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3概

3、率的加法公式B(4)A概率性质的证明(4):思路:将B化为两个互不相容事件的和后,用性质2.①B=(B－A)+A,且B－A与A互不相容，P(B)=P(B－A)+P(A)i.e.P(B－A)=P(B)－P(A)②再由非负性公理,P(B－A)≥0,可得P(B)≥P(A).(6):思路:利用两个互不相容事件和的公式A+B=A+(B－AB)（利用图形直观理解!）P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)AB(5)AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B的对立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A

4、)+P(B)例1.3.1得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，所以P()=10.2=0.8.例1.3.2解：因为P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求P(AB).练习1:设P(A)=1/3,P(B)=1/2.解答例1.3.3解：因为A、B、C都不出现的概率为=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/4

5、1/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C都不出现的概率.口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”例1.3.5解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.例1.3.4解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现

6、一次6点”，则所求概率为一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai=“第i个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)——配对模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(

7、n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=配对模型(续)甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反乙反)=1P(甲正>乙正)(对称性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正