§1.2 概率论与数理统计教程

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1、直观定义——事件A出现的可能性大小.统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2概率的定义及其确定方法非负性公理：P(A)0;正则性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An……互不相容，则1.2.1概率的公理化定义随机试验可大量重复进行.1.2.3确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.频率﹡试验E为抛一枚硬币,A=“正面朝上”,n表示试验

2、总数,n(A)表示在n次试验中A发生的次数,称为在n次试验中A出现的频数;﹡fn(A)是频数n(A)与试验总次数n的比值,即fn(A)=n(A)/n,称为A在n次试验中A出现的频率.﹡下表记录了每轮分别掷n=10,100,600次,且各进行10轮,A出现的情况.实验序号n=10n=100n=600n(A)fn(A)n(A)fn(A)n(A)fn(A)120.2640.643150.525240.4470.472960.493330.3460.463020.503470.7590.593120.520590.9490.49300

3、0.500650.5600.603060.510730.3560.562940.490880.8560.563140.523950.5400.403020.5031040.4480.482950.492﹡由表1-2:当试验次数n越来越大时,不仅频率的波动越来越小,而且总在一个定值0.5附近波动,这种性质称为频率的稳定性.故可用频率的稳定值0.5作为事件A的概率,P(A)=0.5﹡用频率估计概率的前提条件是试验次数要充分的多!下表列举了历史上一些著名学者掷硬币试验的记录.试验者试验次数n频数n(A)频率μn(A)迪摩根20481

4、0610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔孙1200060190.5016皮尔孙24000120120.5005维尼30000149940.4998进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率。频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值)统计定义——事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.确定概率的频率方法古典方法设为样本空间，若①只含有限个样本点;②每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4确定

5、概率的古典方法概率的古典定义称为试验S下A发生的概率，简称为事件A的概率。抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能。Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此样本空间中的样本点不等可能。注意例子全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：加法原理、乘法原理。基本的组合分析公式重复排列（有放回）：nr。全排列：Pn=n!0!=1.选排列（无放回）：古典概型的计算中常用的计数方法加法原理完成某件事情有

6、n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法。乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法。组合组合：重复组合：n=4,r=3:有放回重复组合的解释n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例n个人坐成一

7、排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：例口袋中有5个白球、7个黑球、4个红球。从中不返回任取3个。求取出的3个球为不同颜色的球的概率。思考题N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M个白球，NM个黑球)常见模型(1)----不返回抽样从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.n

8、N,mM,nmNM.N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M个白球，NM个黑球)从中有返回地任取n个。则此n个中有m个不合格品的概率为：条件：mn,即m=0,1,2,……,n.常见模型(2)----返回抽样n个不同球放入N个不同的盒子中。每个盒子