概率论与数理统计强化教程

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1、2014考研数学强化教程概率论与数理统计主讲：方浩（中国顶级考研数学辅导专家，北京大学博士，副教授）2013年6月1第一章随机事件和概率核心考点串讲（一）计数原理1.两个基本原理(1)乘法原理：完成一件事有k个步骤，每一步有nn,,,n种方法，则完成此事共nnn种方法.12k12k(2)加法原理：完成一件事有k类途径，每一类分别有nn,,,n种方法，则完成此事共有nnn种12k12k方法.2.排列从n个不同的元素中任取r个(0rn)，按一定顺序排成一列，则称为从n个元素中取出r个元素的一个r排列，其所有的排列种数记为Ann(1)(n

2、r1).n3.组合从n个不同的元素中任取r个(0rn)，不计顺序拼成一组，称为从n个元素中取出r个元素的组合，其rn!组合总数记为C.n(nrr)!!【评注】加法原理与乘法原理的区别在于加法原理要求完成一件事情可以并行的选择多种途径，乘法原理要求完成一件事情需要串行的经过多个步骤；排列与组合的区别在于确定选定元素的方法基础之上考虑顺序，组合只要求确定选出确定元素的方法.（二）随机试验与样本空间1.随机试验：在概率论中将满足下面三个条件的试验称为随机试验：01可以在相同条件下重复进行；02每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果

3、；03进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2.样本空间和样本点样本空间：随机试验的所有可能发生的结果组成的集合.样本点w：样本空间的元素，即随机试验的每个可能结果.3.基本事件：样本空间中的一个样本点组成的单点集4.随机事件：样本空间的子集称为随机事件.5.必然事件：样本空间包含所有样本点，是随机试验中必然发生的事件，记作.6.不可能事件：空集不包含任何样本点，每次试验中一定不发生，记为.【评注】通过简单的例子理解随机事件与样本空间的概念即可；例如：一枚硬币向空中抛两次，每次正面朝上记2为1，反面朝上记为0，则样本空间为：0,0,0,1

4、,1,0,1,1；其中包含四个样本点0,0,0,1,1,0,1,1；事件两次都是正面朝上是基本事件，是一个样本点1,1组成的单点集；第一次反面朝上是随机事件，是包含两个样本点的集合0,0,0,1；第一次正面朝上或反面朝上是必然事件，包含样本空间所有样本点；第一次既非正面朝上也非反面朝上是不可能事件，不包含样本空间中的样本点.（三）事件间的关系和运算1.事件间的关系(1)包含关系：事件A发生B必发生，记作AB.(2)事件相等：事件AB,中一个发生，另一个必然发生，记作AB.n(3)和事件：A，B至少有一个发生

5、，记作AB或AB；n个事件AA12,,,An的和事件记为Ak.特别k1地，若AB则ABB.n(4)积事件：A，B同时发生,记作AB或AB；n个事件AA12,,,An的积事件记作Ak.特别地，AB则k1ABA.(5)差事件:A发生且B不发生,记作AB，或AB.(6)互斥(互不相容)事件：A，B不能同时发生，记作AB.(7)对立(互逆)事件：A，B在一次试验有且只有一个发生，AB且AB.A的对立事件记为A.【评注】准确理解事件之间的关系，是掌握加法公式，减法公式，乘法公式的基础。例如：一枚硬币连续向空中抛掷两次，记

6、事件A：第一次正面朝上，第二次反面朝上，B：第一次正面朝上，可知A发生必然导致B发生，故AB；记C：第一次不是反面朝上，第二次不是正面朝上，可知A与C描述的是同一事件，故AC；记D:第一次正面朝上，第二次正面朝上.可知ADB；AC,不可能同时发生，则AD；B发生A不发生即为D发生，故BAD记E：第一次反面朝上，易知E与B互为逆事件.2.事件的运算律(1)交换律：ABBAAB;BA.(2)结合律：A(BC)(AB)C;A(BC)(AB)C.(3)分配律：A(BC)(AB)(AC).(4)对偶律(摩根

7、律)：ABABAB,AB.【评注】对偶律是概率中的重要工具，我们经常遇到的含有AB,的比较复杂形式的运算，通常是利用对偶律来3处理，转化成比较简单的形式；对偶律可以理解为：对一个由事件AB,通过一系列运算构成的整体事件取逆等价于各个事件都取逆，且将替换为，将替换为.（四）概率的定义与性质1.概率的定义设E是随机试验，是样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为PA()，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件A，有PA()0.(2)规范性：对于必然事件，有P()1.(3)可列可加性：

8、设AA,,是两两互不相容的事件，即对AA,ij