§1.5 条件概率和乘法公式

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1、§1.5条件概率与乘法公式1从下面引例谈及条件概率的定义．例1.15有外观相同的三极管10只，按电流放大系数分类，6只属甲类，4只属乙类．不放回地抽取三极管两次，每次只抽一只．求在第一次抽到甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率．记Ａ={第一次抽到的是甲类三极管}，Ｂ={第二次抽到的是甲类三极管}．一、条件概率2工作是在“已知A发生”的附加条件下，求B发生生的概率，这个概率称作条件概率，并且记作由于第一次已经抽走了一只，所以第二次是从余下的9只三极管中任抽一只，有9种抽法.在第一次抽到甲类三极管的条件下，要求第二次又抽到甲类三极管，这时可供抽的

2、是余下的5只甲3类三极管，从中任抽一只，有5种抽法，所以在这里，显然有由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．4为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事件的概率大于零．若事件A满足则对任意事件B，称◆当时，条件概率无意义；保证分母不为零，是必要的假设；◆5条件概率与无条件概率的关系条件概率是无条件概率的推广无条件概率是条件概率的特殊情形．6条件概率P(A

3、B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小．P(A)与P(A

4、B)的

5、区别在于两者发生的条件不同，是两个不同的概念，在数值上一般也不同．而条件概率P(A

6、B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A

7、B)仍是概率．71º非负性2º正则性3º可列可加性由此可推出条件概率的其它性质，如：●(对立事件的条件概率公式)对任意事件B，有89例1.16100个灯泡中有80个合格灯泡，20个不合格灯泡，其中甲生产的60个灯泡里有50个合格灯泡，10个不合格灯泡，余下的40个灯泡均由乙生产．现在从该批灯泡中任取一个，已知取到的是合格灯泡，求该灯泡恰好由甲生产的概率．100个80个合格20个不合格甲：50合格+10

8、不合格乙：30合格+10不合格10解记A={任取一个灯泡，该灯泡恰好为合格灯泡}，B={任取一个灯泡，该灯泡恰好为甲生产}．显然，于是，条件概率的定义另一种计算方法——条件概率的本来含义到甲生产的灯泡的概率，而80个合格灯泡里甲生这与用条件概率定义计算的结果完全相同．本质上就是从80个合格灯泡里抽产的灯泡有50个，所以，11的两种经常采用的方法．前者一般在有实际背景提醒：条件概率的本来含义和定义是求条件概率的时候应用，后者无论有无实际背景都可以应用．例1.17人寿保险公司常常需要知道存活到某个年龄段的人在下一个年龄段仍然存活的概率．根据统计资料显示，某城

9、市的人由出生活到60岁的概率为0.8734，存活到65岁的概率为0.7950．问现年60岁的人，能够活到65岁的概率是多少?解记A={活到60岁}，B={活到65岁}.12可见，该城市的人在60岁到65岁之间死亡的概条件概率的定义率约为1-0.9102=0.0898，在平均的意义下，该年龄段中每百人中间约有8.98人死亡．像这种反映某种特殊人群寿命分布的生命表对保险公司确定保险和赔保的数额都是很有意义的．13二、概率的乘法公式由条件概率的定义变形得到定理1.4(关于两个事件的概率的乘法公式)若则乘法公式用来计算若干个事件乘积(交)的概率！14例1.18市

10、场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，其合格品率是95%．求从市场上买到的一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．甲70%合格品95%其它30%15解记A={甲厂生产的灯泡}，B={合格灯泡}，乘法公式例1.19某厂的产品中有4℅的不合格品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率．解记A={取到合格品}，B={取到一等品}，16定理1.5(关于三个事件的概率的乘法公式)定理1.6(概率的一般乘法公式)若17例1.20一批零件共有100个，其中有10个不合格品．从中一个一个取出，求第三次才取到不合格品的概率．条件概率的本来含义

11、18例1.21验收100件产品的方案如下：从中任取4件进行逐件检查，如果全部合格就接收该批产品，否则拒绝接收该批产品．已知这100件产品中恰有4件不合格品，求该批产品被拒绝接收的概率．条件概率的本来含义19