第1.4节 条件概率

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1、§1.4条件概率在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加条件下求事件的概率.1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率,将此概率记作P(B

2、A).P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}，A={掷出偶数点}，P(B

3、A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A.P(B

4、A)=1/3.A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集B中.于是容易看到P(B

5、A)P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记A={取到正品}B={取到一等品}，P(B

6、A)

7、则上述式子具有普遍性吗?P(B)=7/10，ABB-ABAB由于A已经发生,故A变成了新的样本空间.条件概率P(B

8、Ａ)与P(B)的区别设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在随机试验中事件B发生的可能性大小.而条件概率P(B

9、A)是在“A已经发生”这个条件下B发生的可能性大小,即P(B

10、A)仍是概率.可以验证,条件概率仍然满足概率的三条公理:2)从加入条件后改变了的情况去算:4.条件概率的计算:1)用定义计算:P(A)>0掷骰子例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点}P(B

11、A）=A发生后的缩减的样本空间中所含样本点总数在缩减的样本空间中B所含样本点个数P(B

12、A)例1掷两颗均匀骰子,已

13、知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设B={掷出点数之和不小于10}A={第一颗掷出6点}应用定义在A发生后的缩减的样本空间中计算由于是不放回抽样,所以有由定义,注意P(AB)与P(B

14、A)的区别！请看下面的例子指同时发生的概率．例2甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是甲厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个甲厂生产300个甲厂生产设A={零件是甲厂生产},B={是标准件}A的发生,在P(A

15、B)中作为结果;若改为“已经发现它是甲厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(B

16、A).例2甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是甲厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，甲、乙共生产1000个189个是标准件300个甲厂生产300个甲厂生产A的发生,在P(AB)中作为结果;在P(B

17、A)中作为条件.设A={零件是甲厂生产},B={是标准件}二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(A

18、B)P(B)(1)若已知P(B),P(A

19、B)时,可以反求P(AB).若P(A)>0,则P(AB)=P(B

20、A)P(A)

21、(2)对称地有(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率，即积事件发生的概率．定理设，则有推广其中，则有或条件概率：证：且即5个球迷只有一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？一场精彩的足球赛将要举行，先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大大家不必争先恐后，你们一个个按次序来，抽到‘入场券’的机会都一样大到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”(i＝

22、1,2,3,4,5).我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”(i＝1,2,3,4,5)，显然，P(A1)=1/5，也就是说，第1个人抽到入场券的概率是1/5;表示“第i个人未抽到入场券”则对于若第2个人抽到了入场券,第1个人肯定没抽到由乘法公式计算得同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.=(1/3)(3/4)(4/5)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后所以第2个人抽到入场券的概率也是1/5;所以第3个人抽到入场券的概率也是1/5;因此入场券=(1/4)(4/5)=1/5;二、乘法公式（条件概率的链式法则）由条件概率的定义

23、，可直接得到下面的乘法公式乘法公式设是两个事件,并且则有一般地,用归纳法可证:若则有推广