北京东城55中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

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1、北京市第五十五中学2017-2018学年度第一学期期中考试试卷高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故选2．函数的定义域为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，定义域，解出．故选．3．函数的图象关于（）．A．原点对称B．轴对称C．轴对称D．直线对称【答案】C【解析】，，∴是偶函数，关于轴对称，故选．4．若偶函数在上是单调递减的，则下列关系式中成立的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是偶函数，∴，∵在单调递减，，∴，∴，故

2、选．5．已知，，，则实数，，的大小关系为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，故选．6．已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程的近似解可取为（精确度）（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴在上有零点，只有项．7．点从点出发，按逆时针方向沿周长为的正方形运动一周，记，两点连线的距离与点走过的路程为函数，则的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，当时，为正比例函数，当时，不是正比例函数，且图象关于对称，只有项符合要求．8．已知函数，，若函数有四个零点，则的取值范围（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】图象如图，当时，符合要求

3、，故选．第二部分（非选择题共80分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为__________．【答案】【解析】设幂函数为，代入，∴．∴幂函数为．10．化简__________．【答案】【解析】原式．11．函数恒过定点__________．【答案】【解析】，∵，∴恒过点．12．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】在上单调递增，∴，解出：．13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数，则一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是______

4、____．【答案】【解析】当时，，，∴．即鲑鱼静止时，耗氧单位数为．14．设函数，给出四个命题：①是偶函数；②是实数集上的增函数；③，函数的图像关于原点对称；④函数有两个零点．上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上）【答案】②③【解析】①错，∵，，∴不是偶函数．②∵，由图象知在上单调递增，正确．③时，，关于原点对称，正确．④若时，只有一个零点，错误．综上，正确命题为②③．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分分）已知集合，集合．（）求．（）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（）（）【解析】（）∵，

5、，∴，，∵，，，，∴．（），，∴或，解出．16.（本小题满分分）已知函数，且．（）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．（）证明函数为上是增函数．（）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（）在定义域上为奇函数（）见解析（）在上最大值为，最小值为【解析】（）∵，，∴，∴，，∴在定义域上为奇函数．（）证明：设，∵，，，，∴，，∴在为增函数．（）∵在单调递增在上，，．17．（本小题满分分）一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到）（参考数据：，，）【答

6、案】见解析【解析】解：设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得， 整理，得，∴，∴，同理得， 解得：， 答：应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药．17．（本小题满分分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：（）后还剩百分之几的污染物．（）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）．【答案】见解析【解析】（）由，可知时，，当时，，所以，当时，，所以个小时后还剩的污染物．（）当时，有，解得，所以污染物减少所需要的时间为个小时．18．（本小题满分分）已知二次函数的最小值为，且．（）求的解析式．（）

7、若在区间上不单调，求实数的取值范围．（）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．【答案】见解析【解析】（）∵为二次函数且，∴对称轴为，又∵最小值为，∴可设，∵，∴，∴，即．（）∵，的对称轴为．∴在单调递减，在单调递增，∵在上不单调，则，∴，解出．（）令由题意在上恒成立，又∵对称轴为，在上单调递减，∴，．18．（本小题满分分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函