2019-2020年高二数学 椭圆的几何性质知识精讲 新人教版(文)

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1、2019-2020年高二数学椭圆的几何性质知识精讲新人教版(文)【本讲教育信息】一.教学内容:椭圆的几何性质二.本周教学重、难点:1.重点:椭圆的几何性质,椭圆的第二定义。2.难点:焦半径,焦点三角形三.知识梳理:【典型例题】[例1]设P为椭圆上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,若,,求椭圆的离心率为多少?解:方法一:∵又∵∴∴∴方法二:∵∴∴又∵∴∴∴∴∴∴[例2]过点M(1,1)作直线与椭圆交于A、B两点,M恰为AB中点,求直线方程。解:设A()B()∴①②①-②:∴∴∴∴即[例3]椭圆,,P为任一点,当最大时,是否存在一直线过点()交椭圆

2、于A、B两点,且A、B在以P为圆心的圆上。解:设A(),B(),直线AB的斜率为,线段AB中点M()∴①②①-②:∴∴③又∵PM⊥AB∴④∴⑤又∵∴设,,联立③、④、⑤∴∴这样的直线存在方程为[例4]已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且,求椭圆的方程。解:∵椭圆的长轴长是6,∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)∴,∴∴,∴椭圆的方程是或[例5]已知点A(1,2)在椭圆内,F的坐标为(2,0),在椭圆上求一点P使最小。解:∵,∴,∴F为椭圆的右焦点,并且离心率为设P到右准线的距离为,则,∴由几

3、何性质可知,当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时,最小。把代入,得(负舍之),即P()为所求[例6]设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。解法一:设椭圆的参数方程为(其中,)由,得设椭圆上的点()到点P的距离为则如果,即那么当时,取得最大值由此得,与矛盾因此必有此时当时,取得最大值解得,所求椭圆的参数方程是由,求得椭圆上到点P的距离等于的点是()与()解法二:设所求椭圆的方程为()由解得设椭圆上的点()到点P的距离为则其中。

4、如果,则当时,取得最大值解得,与矛盾故必有当时,取得最大值解得,所求椭圆方程为由可求得到点P的距离等于的点的坐标为()[例7]已知P点在椭圆上,P点的坐标为(),求的最大值和最小值。解:∵P点在椭圆上∴可设P点的坐标为()即,∴∴当时,最大,其最大值为当()时,最小,其最小值为[例8]已知椭圆(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A(2,1)的直线与椭圆相交,求被截得的弦的中点轨迹方程;(3)过点P()且被P点平分的弦所在直线的方程。解:(1)设斜率为2的直线的方程为由得由得设平行弦的端点坐标为()、(),设弦的中点坐标为(),则,代

5、入,得为所求轨迹方程(2)设与椭圆的交点为()、()弦的中点为(),则,两式相减并整理得又∵,∴∴①由题意知代入①得=0化简得∴所求轨迹方程为(夹在椭圆内的部分)(注:设的方程为,仿(1)的解法也可)(3)将,代入得。故所求的直线方程为【模拟试题】(答题时间:60分钟)一.选择:1.椭圆与的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的准线2.中心在原点,焦点在轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是()A.B.C.D.3.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()A.B

6、.C.D.4.F()是椭圆的一个焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为,最小值为,则椭圆上与点F距离为的点是()A.B.C.D.不存在5.椭圆上有一点P到左准线的距离为,那么P到右焦点的距离为()A.8B.C.D.6.已知点P在椭圆上,并且P到直线:的距离最小,则P点的坐标是()A.B.C.D.7.曲线(为参数)的准线方程是()A.B.C.D.8.过椭圆左焦点作弦AB,以AB为直径的圆与椭圆左准线()A.相切B.相交C.相离D.位置关系不确定二.填空:1.P是椭圆上的点,F1、F2是两个焦点,则的最大值与最小值之差是。2.一广告气球被一束平行光线投

7、射到水平面上,其投影为椭圆,离心率是,则这束光线对于水平平面的入射角为。3.P点在椭圆上运动,点Q、R分别在圆,上运动,则的最大值是。4.椭圆,P为椭圆上一点,且,则点P的坐标为。三.解答题:1.已知点A()及椭圆,在椭圆上求一点P使的值最大。2.椭圆的左、右焦点分别为和,过中心O作直线与椭圆交于A、B两点,若的面积为20,求直线AB的方程。3.是椭圆的长轴,CD是垂直于长轴的弦,求直线和的交点P的轨迹方程。4.如下图,A、B是两个定点,,动点M到A点的距离是6,线段MB的垂直平分线交MA于点P,直线垂直于AB,且B到的距离是。若以AB所在直线

8、为轴,AB的中垂线为轴建立直角坐标系。(1)求证:点P到点B的距离与直线的距离之比为定值。(2)若P点到A、B两点的距离之积为,当取最大值时,求P点的

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