2019-2020年高二数学 椭圆的几何性质知识精讲 新人教版（文）

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1、2019-2020年高二数学椭圆的几何性质知识精讲新人教版（文）【本讲教育信息】一.教学内容：椭圆的几何性质二.本周教学重、难点：1.重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义。2.难点：焦半径，焦点三角形三.知识梳理：【典型例题】[例1]设P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若，，求椭圆的离心率为多少？解：方法一：∵又∵∴∴∴方法二：∵∴∴又∵∴∴∴∴∴∴[例2]过点M（1，1）作直线与椭圆交于A、B两点，M恰为AB中点，求直线方程。解：设A（）B（）∴①②①－②：∴∴∴∴即[例3]椭圆，，P为任一点，当最大时，是否存在一直线过点（）交椭圆

2、于A、B两点，且A、B在以P为圆心的圆上。解：设A（），B（），直线AB的斜率为，线段AB中点M（）∴①②①－②：∴∴③又∵PM⊥AB∴④∴⑤又∵∴设，，联立③、④、⑤∴∴这样的直线存在方程为[例4]已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。解：∵椭圆的长轴长是6，∴点A不是长轴的端点（是短轴的端点）∴，∴∴，∴椭圆的方程是或[例5]已知点A（1，2）在椭圆内，F的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P使最小。解：∵，∴，∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为设P到右准线的距离为，则，∴由几

3、何性质可知，当P点的纵坐标（横坐标大于零）与A点的纵坐标相同时，最小。把代入，得（负舍之），即P（）为所求[例6]设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。解法一：设椭圆的参数方程为（其中，）由，得设椭圆上的点（）到点P的距离为则如果，即那么当时，取得最大值由此得，与矛盾因此必有此时当时，取得最大值解得，所求椭圆的参数方程是由，求得椭圆上到点P的距离等于的点是（）与（）解法二：设所求椭圆的方程为（）由解得设椭圆上的点（）到点P的距离为则其中。

4、如果，则当时，取得最大值解得，与矛盾故必有当时，取得最大值解得，所求椭圆方程为由可求得到点P的距离等于的点的坐标为（）[例7]已知P点在椭圆上，P点的坐标为（），求的最大值和最小值。解：∵P点在椭圆上∴可设P点的坐标为（）即，∴∴当时，最大，其最大值为当（）时，最小，其最小值为[例8]已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在直线的方程。解：（1）设斜率为2的直线的方程为由得由得设平行弦的端点坐标为（）、（），设弦的中点坐标为（），则，代

5、入，得为所求轨迹方程（2）设与椭圆的交点为（）、（）弦的中点为（），则，两式相减并整理得又∵，∴∴①由题意知代入①得=0化简得∴所求轨迹方程为（夹在椭圆内的部分）（注：设的方程为，仿（1）的解法也可）（3）将，代入得。故所求的直线方程为【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择：1.椭圆与的关系为（）A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的准线2.中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A.B.C.D.3.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）A.B

6、.C.D.4.F（）是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为，最小值为，则椭圆上与点F距离为的点是（）A.B.C.D.不存在5.椭圆上有一点P到左准线的距离为，那么P到右焦点的距离为（）A.8B.C.D.6.已知点P在椭圆上，并且P到直线：的距离最小，则P点的坐标是（）A.B.C.D.7.曲线（为参数）的准线方程是（）A.B.C.D.8.过椭圆左焦点作弦AB，以AB为直径的圆与椭圆左准线（）A.相切B.相交C.相离D.位置关系不确定二.填空：1.P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则的最大值与最小值之差是。2.一广告气球被一束平行光线投

7、射到水平面上，其投影为椭圆，离心率是，则这束光线对于水平平面的入射角为。3.P点在椭圆上运动，点Q、R分别在圆，上运动，则的最大值是。4.椭圆，P为椭圆上一点，且，则点P的坐标为。三.解答题：1.已知点A（）及椭圆，在椭圆上求一点P使的值最大。2.椭圆的左、右焦点分别为和，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若的面积为20，求直线AB的方程。3.是椭圆的长轴，CD是垂直于长轴的弦，求直线和的交点P的轨迹方程。4.如下图，A、B是两个定点，，动点M到A点的距离是6，线段MB的垂直平分线交MA于点P，直线垂直于AB，且B到的距离是。若以AB所在直线

8、为轴，AB的中垂线为轴建立直角坐标系。（1）求证：点P到点B的距离与直线的距离之比为定值。（2）若P点到A、B两点的距离之积为，当取最大值时，求P点的