高二数学椭圆及其标准方程及几何性质知识精讲 人教版

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1、高二数学椭圆及其标准方程及几何性质知识精讲一.本周教学内容：椭圆及其标准方程及几何性质二.重点、难点1.椭圆定义及标准方程定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做椭圆。这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离

4、F1F2

5、称为椭圆的焦距。注意：（1）定义用集合语言，平面内点集P={M

6、MF1

7、+

8、MF2

9、=2a，2a>

10、F1F2

11、}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。（2）当2a=

12、F1F2

13、时，轨迹是线段F1F2，当2a<

14、F1F2

15、时，轨迹不存在。2.椭圆的标准方程（1）方程推导（

16、2）方程：注意：（1）推导过程分四步：①建系；②写出点集；③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）（2）当且仅当椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上时，椭圆方程才有标准式。（3）两种方程中总有a>b>0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。3.椭圆的几何性质（1）范围：由方程（2）对称性：①由图得，关于x轴、y轴和原点对称。②由方程得同样结论。（3）顶点（±a，0），（0，±b）典型例题例1.F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求△F2AB的周长和面积。解：例2.根据

17、下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。（1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）；（2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法”由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为例3.分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上时，椭圆焦点在x轴上，当B>A时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。解：例4.如图所示，原点O是线段AB的中点，已知定圆A的半径为2a，点B在圆A内部，AB=a，现有动圆M过点B且与圆A相切，求满足

18、此条件的△MAB面积的最大值。解：∵动圆M过点B与圆A相切∴动圆圆心M在以A，B为焦点，以2a为长轴长的椭圆上。取A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，例5.的圆过椭圆的左焦点F，求实数m的值。分析：对“以AB为直径的圆过点F”可有两条途径去证：二是证明以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0过F。解：此时方程（*）的判别式△>0小结：有关直线与二次曲线问题，常用“韦达定理”，此题是一个典型例题。另外，有关圆的问题，要注意结合圆的几何性质解

19、题，这样常常起到事半功倍的作用。例6.解：设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，M到左、右准线的距离分别为d1、d2例7.根据下列条件，求椭圆的标准方程：（2）在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点连线互相垂直，且此焦点到与它对应的准线的距离为2。解：例8.已知A、B是直线l上的两个定点，点P在l上的射影M在线段AB上，且满足分析：题中未给出坐标系，需恰当建立直角坐标系，由于题中已给出了动点P运动的几何条件，因而应按照“直接法”求轨的方法步骤进行解题。解：建立如图所示的直角坐标系，∵点M在线段AB上，整理后，得x2+2y2=a2。∴

20、P点的轨迹是椭圆。小结：要把“求轨迹”（曲线）与“求轨迹方程”（方程）区别开来。例9.并延长OP至Q，使

21、PQ

22、=

23、OP

24、，求动点Q的轨迹方程。分析：题中出现了“双动点”（P与Q），由于其中一个动点P的轨迹是已知的坐标与P点坐标的关系即可。解：∴P点是线段OQ的中点此方程即为Q点的轨迹方程。小结：若在一个问题中，存在两个动点P(x0，y0)，Q(x，y)，当P点的轨迹方程是已知的，设为F(x，y)=0，即F(x0，y0)=0，此时，只需寻找到Q点的坐标x，y与P点的合于“双动点”的求轨方法，我们常常称之为“代入法”（或“转移法

25、”）。例10.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，求该椭圆的离心率。分析：将题中数学语言用数学式子表述，利用椭圆的基本几何量之间的关系得出关系a，c的关系式，即可求出离心率e。解：小结：通常涉及离心率的问题，总是从分析题意入手，设法列出关于椭圆的基本几何例11.一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶分析：首先需要根据题意，作出相应的几何图形（直观化），如图所示。∴P点坐标可用a，b，c表示，再利用

26、PO//BA，即可找到a与c的一个关系式，从而离心率e及标准方程可求。解：上顶点为B(0，b)∵P（-c，y0）在椭圆上小结：待定系数法是十分重要的数学方法。要明确：欲求出n个待定系数的值，需要具备n个独立的条件，此题只需确定a与b的值，题中已经给出两个条件了，一定能顺利地解