高二数学椭圆及其标准方程 椭圆的几何性质知识精讲 人教版

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1、高二数学椭圆及其标准方程椭圆的几何性质知识精讲人教版一.本周教学内容：§2.7椭圆及其标准方程§2.8椭圆的几何性质二.重点、难点：1.椭圆的定义：平面上到两定点F1，F2的距离之和为一定值2a的点P的轨迹（2a>

2、F1F2

3、），叫做椭圆。F1，F2叫做椭圆的焦点，

4、F1F2

5、＝2c叫做椭圆的焦距。注：若2a＝

6、F1F2

7、，即

8、PF1

9、+

10、PF2

11、＝

12、F1F2

13、，则P点的轨迹是线段F1F2，若2a<

14、F1F2

15、，则P点的轨迹不存在。2.椭圆的标准方程：注意到椭圆的对称性，因此可按如下方式建立直角坐标系，即以两焦点F1，F2所在直线为x轴，

16、线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系（如上图），如此以来，根据椭圆的定义，则易求得椭圆的标准方程为，因x轴，y轴分别为椭圆的对称轴，且

17、A1A2

18、>

19、B1B2

20、，故把A1A2叫做长轴，B1B2叫做短轴，则a表示半长轴长，b表示半短轴长，若椭圆的焦点F1、F2在y轴上，且F1F2的中点为原点，则椭圆的另一标准方程为注意：（1）焦点在长轴上，由于焦点所在坐标系中的位置不同，因而椭圆的标准方程形式有所不同，若焦点在x轴上，则x2对应的分母为较大者a2；若焦点在y轴上，则y2对应的分母为较大者a2。（2）a，b，c为刻划椭圆的基本量，是重要的

21、定形条件，其关系为a2＝b2＋c2，且a>0，b>0，c>0，它们有明显的几何意义。3.椭圆的几何性质：（2）椭圆关于x轴，y轴分别成轴对称，且关于原点成中心对称（原点O称为椭圆的中心）。（这一结论可由直线与椭圆相切的充要条件，采用Δ法导出），为此，求弦长时可考虑利用韦达定理）6.由椭圆的几何性质（6），可导出如下结论：（我们把

22、PF1

23、，

24、PF2

25、称为椭圆的焦半径）注：本单元的两种类型的问题：（1）已知椭圆满足的几何条件，求椭圆的方程；（2）已知椭圆的方程，研究椭圆中的某些几何关系。【典型例题】例1.已知ΔABC一边BC的长为6，周长为

26、16，求顶点A的轨迹方程。分析：研究轨迹方程问题，通常有两种思考方向：<1>直接求轨迹方程；<2>先判断动点的轨迹类型，而后利用待定系数法求轨迹方程，本题则属于第<2>种，但是需要注意的是题目条件中并未给出坐标系，应根据已知选择合适的坐标系，才能进一步求轨迹方程。解：∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（去掉长轴上的两个顶点），以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。例2.过点M（3，2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆的方程为________。分析：由已知方程得其标准形式例3.已知P为椭圆到两准线的距离分别为

27、6和12，求椭圆方程。分析：欲求椭圆方程，只需求出方程中的系数a2，b2，为此需利用已知条件列出关于a，b的方程组，由PF1⊥PF2可得

28、PF1

29、2＋

30、PF2

31、2＝

32、F1F2

33、2＝4c2。而

34、PF1

35、，

36、PF2

37、是两条焦半径，又已知P到两准线的距离，故联想到椭圆的几何性质（6），易表示出

38、PF1

39、，

40、PF2

41、，如此列出第一个方程；另外，由P到两准线的距离已知，可求出两准线之间的距离，而此距离又可表为，由此又可列出第二个方程；再由a，b，c的关系式a2＝b2＋c2，即可求解a2，b2的值。（这种待定系数法所体现的是方程的思想，你体会到了吗？

42、）解：例4.分析：由于已知ΔPF1F2的一个内角，因此我们通常选择计算三角形面积的如下公式：值，则更简捷注意联想ΔPF1F2的条件与三角形边角关系定理——余弦定理，再利用代数变形，则可求出

43、PF1

44、·

45、PF2

46、的值，进而得到SΔ。解：注：一般地，若P为椭圆（请同学们自我推导）例5.过椭圆C：分析：<1>通常求弦长的问题中都是已知直线方程与椭圆方程，而此题中所给条件是A、B两点到右准线的距离之和为，注意到A、B皆在椭圆上，可联想几何性质（6），尝试寻找弦

47、AB

48、与点A、B到右准线的距离之关系。解：（1）过A、B分别引右准线的垂线，垂足分别为

49、M、N同理分析：(2)已知直线l过椭圆右焦点，故欲求l的方程，还需另一条件，不妨来求l的斜率k，由于l与椭圆相交，故有必要联立两曲线方程，故需先设出l的点斜式方程：，与弦AB相关，最有可能求k的几何条件：AB的中点C，因为点C到右准线的距离解：（梯形中位线）例6.已知椭圆问：能否在椭圆上找到一点M，使M到左准线l的距离

50、MN

51、是

52、MF1

53、与

54、MF2

55、的等比中项？若存在，则求出该点；若不存在，则说明理由。分析：这是一道结论未明，需自己探求的题目。一般地，我们可假设满足题意的点M存在，然后进行推理计算，看所得出的结论是否与已知矛盾，若导出矛盾

56、，则说明此种点M不存在；若无矛盾，则说明此种点M存在。解：假设存在满足题意的点由椭圆的几何性质（6），可得例7.给定点小值时，求B点的坐标。分析：一般地，当发现条件中涉及了曲线上的点与焦点的距