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时间:2018-12-17
《高二数学椭圆及其标准方程 椭圆的几何性质知识精讲 人教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高二数学椭圆及其标准方程椭圆的几何性质知识精讲人教版一.本周教学内容:§2.7椭圆及其标准方程§2.8椭圆的几何性质二.重点、难点:1.椭圆的定义:平面上到两定点F1,F2的距离之和为一定值2a的点P的轨迹(2a>
2、F1F2
3、),叫做椭圆。F1,F2叫做椭圆的焦点,
4、F1F2
5、=2c叫做椭圆的焦距。注:若2a=
6、F1F2
7、,即
8、PF1
9、+
10、PF2
11、=
12、F1F2
13、,则P点的轨迹是线段F1F2,若2a<
14、F1F2
15、,则P点的轨迹不存在。2.椭圆的标准方程:注意到椭圆的对称性,因此可按如下方式建立直角坐标系,即以两焦点F1,F2所在直线为x轴,
16、线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系(如上图),如此以来,根据椭圆的定义,则易求得椭圆的标准方程为,因x轴,y轴分别为椭圆的对称轴,且
17、A1A2
18、>
19、B1B2
20、,故把A1A2叫做长轴,B1B2叫做短轴,则a表示半长轴长,b表示半短轴长,若椭圆的焦点F1、F2在y轴上,且F1F2的中点为原点,则椭圆的另一标准方程为注意:(1)焦点在长轴上,由于焦点所在坐标系中的位置不同,因而椭圆的标准方程形式有所不同,若焦点在x轴上,则x2对应的分母为较大者a2;若焦点在y轴上,则y2对应的分母为较大者a2。(2)a,b,c为刻划椭圆的基本量,是重要的
21、定形条件,其关系为a2=b2+c2,且a>0,b>0,c>0,它们有明显的几何意义。3.椭圆的几何性质:(2)椭圆关于x轴,y轴分别成轴对称,且关于原点成中心对称(原点O称为椭圆的中心)。(这一结论可由直线与椭圆相切的充要条件,采用Δ法导出),为此,求弦长时可考虑利用韦达定理)6.由椭圆的几何性质(6),可导出如下结论:(我们把
22、PF1
23、,
24、PF2
25、称为椭圆的焦半径)注:本单元的两种类型的问题:(1)已知椭圆满足的几何条件,求椭圆的方程;(2)已知椭圆的方程,研究椭圆中的某些几何关系。【典型例题】例1.已知ΔABC一边BC的长为6,周长为
26、16,求顶点A的轨迹方程。分析:研究轨迹方程问题,通常有两种思考方向:<1>直接求轨迹方程;<2>先判断动点的轨迹类型,而后利用待定系数法求轨迹方程,本题则属于第<2>种,但是需要注意的是题目条件中并未给出坐标系,应根据已知选择合适的坐标系,才能进一步求轨迹方程。解:∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(去掉长轴上的两个顶点),以BC所在直线为x轴,BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。例2.过点M(3,2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程为________。分析:由已知方程得其标准形式例3.已知P为椭圆到两准线的距离分别为
27、6和12,求椭圆方程。分析:欲求椭圆方程,只需求出方程中的系数a2,b2,为此需利用已知条件列出关于a,b的方程组,由PF1⊥PF2可得
28、PF1
29、2+
30、PF2
31、2=
32、F1F2
33、2=4c2。而
34、PF1
35、,
36、PF2
37、是两条焦半径,又已知P到两准线的距离,故联想到椭圆的几何性质(6),易表示出
38、PF1
39、,
40、PF2
41、,如此列出第一个方程;另外,由P到两准线的距离已知,可求出两准线之间的距离,而此距离又可表为,由此又可列出第二个方程;再由a,b,c的关系式a2=b2+c2,即可求解a2,b2的值。(这种待定系数法所体现的是方程的思想,你体会到了吗?
42、)解:例4.分析:由于已知ΔPF1F2的一个内角,因此我们通常选择计算三角形面积的如下公式:值,则更简捷注意联想ΔPF1F2的条件与三角形边角关系定理——余弦定理,再利用代数变形,则可求出
43、PF1
44、·
45、PF2
46、的值,进而得到SΔ。解:注:一般地,若P为椭圆(请同学们自我推导)例5.过椭圆C:分析:<1>通常求弦长的问题中都是已知直线方程与椭圆方程,而此题中所给条件是A、B两点到右准线的距离之和为,注意到A、B皆在椭圆上,可联想几何性质(6),尝试寻找弦
47、AB
48、与点A、B到右准线的距离之关系。解:(1)过A、B分别引右准线的垂线,垂足分别为
49、M、N同理分析:(2)已知直线l过椭圆右焦点,故欲求l的方程,还需另一条件,不妨来求l的斜率k,由于l与椭圆相交,故有必要联立两曲线方程,故需先设出l的点斜式方程:,与弦AB相关,最有可能求k的几何条件:AB的中点C,因为点C到右准线的距离解:(梯形中位线)例6.已知椭圆问:能否在椭圆上找到一点M,使M到左准线l的距离
50、MN
51、是
52、MF1
53、与
54、MF2
55、的等比中项?若存在,则求出该点;若不存在,则说明理由。分析:这是一道结论未明,需自己探求的题目。一般地,我们可假设满足题意的点M存在,然后进行推理计算,看所得出的结论是否与已知矛盾,若导出矛盾
56、,则说明此种点M不存在;若无矛盾,则说明此种点M存在。解:假设存在满足题意的点由椭圆的几何性质(6),可得例7.给定点小值时,求B点的坐标。分析:一般地,当发现条件中涉及了曲线上的点与焦点的距
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