高二数学双曲线的几何性质知识精讲 人教版

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1、高二数学双曲线的几何性质知识精讲一.本周教学内容：双曲线的几何性质二.本周教学重、难点：1.重点：双曲线的几何性质2.难点：直线与双曲线的交点，弦长问题，用第二定义求双曲线方程三.知识归纳：[例1]等轴双曲线的两个顶点分别为、，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点，求证：（1）（2），证明：（1）不妨设等轴双曲线的方程为设直线MN的方程为如下图，易求得∴∴又均为锐角∴即根据对称性，∴（2）仿（1）可求得∴∴，同理可证[例2]已知双曲线的焦点坐标是和，是双曲线上的任一点，求证：，，其中是双曲线的离心率。证明

2、：双曲线的两焦点为、，相应的准线方程分别是和。∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率∴，化简得，[例3]在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。解：设P点的坐标为，、分别为双曲线的左、右焦点。∵双曲线的准线方程为∴∵∴P在双曲线的右支上∴∴把代入方程得所以P点的坐标为[例4]已知双曲线方程为，双曲线左支上一点到直线的距离是，求。解：∵点到的距离为，故∴又∵点P在双曲线左支上，故∴又∵，即∴[例5]时，讨论方程表示何种曲线。解：（1）当时，方程为，表示过原点

3、的两条相交直线。（2）当时，，，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线。（3）当时，，，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线。（4）当时，方程为，表示两条平行直线。（5）时，若，方程变为表示圆，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆。（6）时，无轨迹。（7）时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线。[例6]经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交C于A、B两点。（1）求；（2）求的周长。解：（1）由，得焦点、，离心率∵直线的倾斜角为∴直线的方程为由方程组，消去，得关于的一元二次方程（*）设、，且，则、是方程（*）的两个相异实数根，由根与系

4、数的关系，得，∴（2）由焦半径公式得∴的周长[例7]在双曲线上支上有不同的三点、、与焦点的距离成等差数列。（1）求的值；（2）求证：线段AC的中垂线经过某一定点，并求出这个定点坐标。（1）解法一：∵，又∵在双曲线上∴∴由A、B、C在双曲线的同一支上，即上半支上∴,∴同理可求得由于∴∴解法二：∵双曲线的实半轴长为，虚半轴，半焦距，与焦点对应的准线方程为，由双曲线第二定义知∵∴∴同理∵∴解法三：双曲线的离心率，，，又∵∴∴（2）证明：线段AC中点∴线段AC的垂直平分线方程为①∵，，两式相减得又∵∴代入①得∴∴恒过点[

5、例8]（1）不论为何实数，直线与双曲线总有公共点，求的取值范围？（2）过原点作直线，若它与双曲线相交，求直线的斜率的取值范围。（3）过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，交双曲线的左、右两支分别为A、B两点，求双曲线的离心率的取值范围。解：（1）∴（2）∴∴或（3）∴∴∴∴∴∴∴【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择1.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）A.B.C.D.2.双曲线的左焦点为F，点P是左支上位于轴下方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.3.双曲

6、线的焦点到准线的距离是（）A.B.C.或D.或4.与双曲线有共同的渐近线，且准线方程为的双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.5.已知点P在双曲线上，则（）A.P到双曲线中心的距离的最小值为9B.P到双曲线的准线的最小距离为3C.P到双曲线的焦点的最小距离为2D.P到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（）A.B.C.D.7.方程所表示的双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.8.双曲线的一条准线是，则实数为（）A.B.C.D.二.填空1.双曲线实轴长与虚

7、轴长的和为2，则焦距的最小值为。2.若一直线平行于双曲线C的一条渐近线，则与的公共点个数为。3.已知PQ为过双曲线的一个焦点F且垂直于实轴的弦，是另一个焦点，若则双曲线的离心率是。4.若点P在双曲线上，则P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是。三.解答题1.双曲线与圆有公共点，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程。2.已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与等比中项？3.已知直线与双曲线交于A、B两点。（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，

8、求实数的值。（2）是否存在这样的实数，使A、B两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。[参考答案]一.1.D2.A3.C4.A5.C6.B7.B8.D二.1.2.13.4.三.1.解：∵点A与圆心O的连线的斜率为∴过A的切线的斜率为4∴双曲线的渐近线方程为设双曲线方程为∵点在双曲线上∴，∴双曲线的标准方程为2.解：设在左支上存在P点，使由双曲线的定义知即