高二数学双曲线知识精讲1 人教版

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1、高二数学双曲线知识精讲人教版一.本周教学内容：双曲线［教学目标］1.理解并掌握双曲线定义。（第一定义、第二定义）2.理解双曲线的标准方程，并能根据条件确定双曲线的标准方程，熟练掌握待定系数法。3.理解并掌握双曲线的几何性质，能熟练应用几何性质确定双曲线的标准方程。4.掌握直线与双曲线的位置关系的判定，会求双曲线截直线所得的弦长，且会用弦的中点性质解决相关问题。［能力训练］通过椭圆与双曲线的类比，掌握双曲线的标准方程和几何性质，培养学生分析、归纳、推理的能力。进一步理解并掌握代数知识在几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，培养和训练数形结合的能力。二

2、.重点、难点：1.重点：双曲线的定义、标准方程、几何性质的运用；2.难点：双曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用，双曲线渐近线的概念及方程的导出。三.教学过程：（一）知识提要1.双曲线第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于

3、F1F2

4、）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离

5、F1F2

6、叫焦距。2.双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。3.双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上

7、的：（2）焦点在y轴上的：（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。注：c2＝a2＋b24.双曲线的几何性质：<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）线段A1A2叫双曲线的实轴，且

8、A1A2

9、＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，且

10、B1B2

11、＝2b。e越大，双曲线的开口就越开阔。（学生自己总结）则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：【典型例题】例1.选择题。A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在

12、y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线则△F1PF2的面积为（）解：1.把所给方程与双曲线的标准方程对照易知：2+m与m+1应同号即可。∴选A易知：x2的系数为负，y2的系数为正∴方程表示焦点在y轴上的双曲线4.由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5例2.解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，（AB>0）例3.已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。解：在△ABC中，

13、BC

14、＝10

15、∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支又∵c＝5，a＝3，∴b＝4注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；（2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。例4.（1）求与椭圆的双曲线的标准方程。（2）求与双曲线的双曲线的标准方程。解：（1）由椭圆方程知：（2）解法一：∴双曲线的焦点必在x轴上解法二：例5.（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出

16、直线l的方程，若不存在说明理由。解：（1）设AB的方程为：y－1＝k（x－1）（1）另解法：当x1＝x2时，直线AB与双曲线没有交点。（2）假设过的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点【模拟试题】1.若表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（）A.B.（0，2）C.D.（1，2）2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）A.2或B.2C.D.3.圆C1：和圆C2：，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。[参考答案]http://www.DearEDU.com1.答案：A2.答案：A

17、3.分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件知：即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2根据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支（点M与C2的距离大于与C1的距离）这里设M（x，y）∴轨迹方程为