高二数学双曲线知识精讲 苏教版

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1、高二数学双曲线知识精讲一.本周教学内容：双曲线二.重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三.主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a，其中2a＜

10、F1F2

11、，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜

12、F1F2

13、，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当

14、MF

15、1

16、－

17、MF2

18、＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当

19、MF1

20、－

21、MF2

22、＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝

23、F1F2

24、时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞

25、F1F2

26、时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设

27、F1F2

28、＝2c（c＞0），M

29、（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M

30、

31、MF1－MF2

32、＝2a}.（3）代数方程（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）标准方程－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）图形范围

33、x

34、≥a

35、y

36、≥a对称性x轴，y轴，原点顶点坐标（±a，0）（0，±a）实轴虚轴x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2by轴，实轴长2ax轴，虚轴长2b焦点坐标（

37、±c，0）c＝（0，±c）c＝离心率e＝，e>1渐近线y＝±xy＝±x4、方法小结　（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点

38、坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记∠AOB＝θ，则e＝＝．（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0），再根据已

39、知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3，）Q（，5）．剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1，由题意得解得a2＝，b2＝4．所以双曲线的方程为－＝1．（2）设双曲线方程为－＝1.由题意易求c＝2．又双曲线过点（3，2），∴－＝1.又∵a2

40、+b2＝（2）2，∴a2＝12，b2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝．（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－

41、9.故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．例2.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（