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1、2019-2020年高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十二不等式选讲理1.(xx·邢台模拟)设函数f(x)=
2、x+2
3、-
4、x-2
5、.(1)解不等式f(x)≥2;(2)当x∈R,0<y<1时,证明:
6、x+2
7、-
8、x-2
9、≤+.解:(1)当x≥2时,由f(x)≥2,得4≥2,故x≥2;当-2<x<2时,由f(x)≥2,得2x≥2,故1≤x<2;当x≤-2时,由f(x)≥2,得-4≥2,无解.所以f(x)≥2的解集为{x
10、x≥1}.(2)证明:因为
11、x+2
12、-
13、x-2
14、≤4,+=[y+(1-y)]=2++≥4
15、,所以
16、x+2
17、-
18、x-2
19、≤+.2.(xx·成都模拟)已知函数f(x)=x+1+
20、3-x
21、,x≥-1.(1)求不等式f(x)≤6的解集;(2)若f(x)的最小值为n,正数a,b满足2nab=a+2b,求2a+b的最小值.解:(1)当-1≤x<3时,f(x)=4;当x≥3时,f(x)=2x-2.∴不等式f(x)≤6等价于或∴-1≤x<3或3≤x≤4.∴-1≤x≤4.∴原不等式的解集为{x
22、-1≤x≤4}.(2)由(1),得f(x)=可知f(x)的最小值为4,∴n=4.∴8ab=a+2b,变形得+=8.∵a>
23、0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=≥=.当且仅当=,即a=b=时取等号.∴2a+b的最小值为.3.(xx·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.4.(xx·
24、沈阳模拟)已知函数f(x)=
25、x-a
26、-x(a>0).(1)若a=3,解关于x的不等式f(x)<0;(2)若对于任意的实数x,不等式f(x)-f(x+a)<a2+恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=3时,f(x)=
27、x-3
28、-x,即
29、x-3
30、-x<0,原不等式等价于-<x-3<,解得2<x<6,故不等式的解集为{x
31、2<x<6}.(2)f(x)-f(x+a)=
32、x-a
33、-
34、x
35、+,原不等式等价于
36、x-a
37、-
38、x
39、<a2,由绝对值三角不等式的性质,得
40、x-a
41、-
42、x
43、≤
44、(x-a)-x
45、=
46、a
47、,原不
48、等式等价于
49、a
50、<a2,又a>0,∴a<a2,解得a>1.∴实数a的取值范围为(1,+∞).5.(xx·开封模拟)设函数f(x)=
51、x-a
52、,a<0.(1)证明:f(x)+f≥2;(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.解:(1)证明:函数f(x)=
53、x-a
54、,a<0,设f(x)+f=
55、x-a
56、+=
57、x-a
58、+≥==
59、x
60、+≥2=2(当且仅当
61、x
62、=1时取等号).(2)f(x)+f(2x)=
63、x-a
64、+
65、2x-a
66、,a<0.当x≤a时,f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3
67、x,则f(x)+f(2x)≥-a;当a-,解得a>-1,又a<0,所以-1<a<0,故a的取值范围是(-1,0).6.(xx·洛阳模拟)已知f(x)=
68、2x-1
69、-
70、x+1
71、.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式,并作出其图象;(2)若a+b=1,对∀a,b
72、∈(0,+∞),+≥3f(x)恒成立,求x的取值范围.解:(1)由已知,得f(x)=函数f(x)的图象如图所示.(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,∴+=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时等号成立.∵+≥3(
73、2x-1
74、-
75、x+1
76、)恒成立,∴
77、2x-1
78、-
79、x+1
80、≤3,结合图象知-1≤x≤5,∴x的取值范围是[-1,5].