1.3函数的基本性质 第1课时 函数的单调性

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1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性1.理解函数的单调性的概念；（重点、难点）2.掌握判断函数单调性的一般方法；（重点）3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.(重点）我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而增大的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而减少的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随自变量的

2、增大而增大”，可以这样描述：在区间（0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1

3、单调区间．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数F(x)在区间D上是减函数．第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));探究点2对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.探究点3典型例题例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单

4、调区间上，它是增函数还是减函数?解：函数的单调区间有,其中在区间上是减函数，在区间上是增函数．整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].2.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4

5、）,[4,5].在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.1.画出下列函数的图像，并指出函数的单调区间。(1)y＝-x2＋2

6、x

7、＋3，(2)y＝

8、x2-2x-3

9、画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.函数图象如图①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1

10、f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④作出判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:提升总结：3.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.4.证明函数在上是增函数.[0,+∞)4.证明函数在区间上是增函数。证明：任取，且，则因为，得所以函数在区间[-2,+∞)上是增函数．1.函数的单调性反映了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律.当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时，函数在这个区间上单调递减.2.函数的单调性是函

11、数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.3.函数单调性的定义，定量地刻画了函数的单调性，使用定义证明函数的单调性的基本步骤是：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）作出判断.4.我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性要熟练掌握。