1.3 函数的基本性质

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1、精品1.3函数的基本性质学习目标：（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点：（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程一、函数的单调性与最大（小）值1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、

2、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相

3、同。②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）的单调递增区间为．精品3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数

4、)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数4．例题分析证明：函数在上是减函数。证明：设任意，∈（0，+∞）且，则，由，∈（0，+∞），得，又，得，∴，即所以，在上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说是原函数的单调递减区间；练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。二、函数的奇偶性1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。

5、例如：函数,等都是偶函数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）或必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。精品（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数既是奇函数也是

6、偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在时有定义，则．2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质罚3．例题分析：判断下列函数的奇偶性：（1）（）（2）（）说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。五．小结：1．函数奇偶性的定义；2．判断函

7、数奇偶性的方法；3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。