函数的基本性质-单调性

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1、1.3.1函数基本性质——单调性目标：函数单调性的讨论与证明一.函数的单调性.1.增函数的定义设函数在区间I上有定义，如果对于任意的I，当时，都有，则称函数在区间I上为增函数，相应的区间I则称为函数的递增区间.直观上，函数在区间I上为增函数，就是在区间I上小的对应小的，大的对应大的，函数值随着的增大而增大.所以如果函数在区间I上为增函数，那么在区间I上函数的图象（从左到右）是不断地上升的.比如函数在区间上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数在区间上为增函数，图象（从左到右）上升.比如函数在区间上

2、为增函数，图象（从左到右）上升.2.减函数的定义设函数在区间I上有定义，如果对于任意的I，当时，都有，则称函数在区间I上为减函数，相应的区间I则称为函数的递减区间.直观上，函数在区间I上为减函数，就是在区间I上小的对应大的，大的对应小的，函数值随着的增大而减小.所以如果函数在区间I上为减函数，那么在区间I上函数的图象（从左到右）是不断地下降的.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.比如函数在区间上为减函数，图象（从左到右）下降.3.函数的单调

3、性和单调区间.如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数在区间I具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间.例1.函数在区间上为减函数、在区间上为增函数，也可以说成函数在区间上单调递减、在区间上单调递增.而区间和都是函数的单调区间.4.增、减函数的图示.例2.下图是定义在上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数.注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭.5.函数单调性的讨论或证明（步骤——三步

4、走）.借助于函数的图象，可以粗略地得到函数的单调区间，但严格的讨论或证明必须按定义的要求进行.具体步骤如下：①设I，且.②计算，并讨论其符号，以确定或.③根据①②作出结论.例3.证明函数在区间上是增函数.二.函数的最大、最小值设函数的定义域为.如果存在，使得对于任意的，都有，则称为函数的最大值（这时我们也说函数在点处取得最大值），记为：.如果存在，使得对于任意的，都有，则称为函数的最小值（这时我们也说函数在点处取得最小值），记为：.例4.求下列函数的最值.①..②..③..关于函数的最大、最小值我们

5、有如下的结论：设函数在闭区间上有定义.如果是闭区间上的增函数，则函数在点处取得最小值；在点处取得最大值.如果是闭区间上的减函数，则函数在点处取得最大值；在点处取得最小值.例5.求函数的值域.三.课堂练习：练习.四.复合函数的单调性给定函数，及函数，经复合后得到关于的复合函数，设当时，内函数单调，且相应的值域区间为E（E={u

6、，}），如果外函数在时也是单调的，那么复合函数作为的函数在时也是单调的.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.例6.确定函数的单调性.五.单调函数的有关结论.①增函数与增函数

7、的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数.②非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变.③奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性.④偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性.注意：一些常用的函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数等）.六.小结1.关于函数单调性的理解，要注意以下几点：①.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.②.函数在给定区间上的单调性，反映了函数在这个区间上函数值

8、的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此要证明函数在上是递增的，就必须证明对于区间上任意的两个值，当时，都有成立.若要证明函数在上不是递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到两个特殊的，当时，反而有即可.③.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.比如函数在区间上都是减函数，但不能说函数在整个定义域即内是减函数.2.注意求复合函数单调区间的步骤：①.确定函数的定义域；②.将复合函数分解为基本初等函数；③.分别确定这两个函数的单调区间.④.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.七.典

9、型例题1.函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.2.函数的单调性为（）A.在上为减函数B.在上为增函数，在上为减函数C.不能确定D.在上为增函数3.如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中不正确的是（）A.B.C.D.4.作出函数的图象，并指出函数的单调区间.5.确定函数的单调性.6.确定函数的单调性.7.如果函数在区间上是增函数，求的取值范围.8.设函数为R上的单调函数，求证方程在R上至多有一个实根.9.设为定义在上的增函数，如果对于任意的，都有.①.求证.