2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（理）试题

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1、2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，集合，则A．B．C．D．2．已知，则的值A．B．C．D．3．已知向量，向量的夹角是，，则等于A．B．1C．D．24．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A．∥∥B．∥C．∥∥D．∥∥5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气

2、其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺6．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10第页7．直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为A．30°B．60°C．90°D．120°8．若函数在区间上单调递减，且，，则K]A．B．C．D．9．已知数列的首项，数列为等比数列，且．若，则A．B．C．D．[来10．某几何体的三视图如右图所

3、示,则该几何体的体积为A．B．C．D．11．已知定义域为R的奇函数，当时，，当时，，则A．B．C．D．12．已知是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A．12B．13C．14D．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点且与直线垂直的直线方程为．14．已知，则．10第页15．在△中，，，，则．16．已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）在中

4、，角所对的边分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积．18．（本小题12分）若数列的前项和满足，等差数列满足．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．19．（本小题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，10第页，求的最小值．20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．21．（本小题12分）

5、已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求的取值范围．考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请填涂题号．22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．10第页（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，已知与,的公共点分别为,，当在区间上变化时，求的最大值．23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，且，求证：．10第页2

6、018—2019年度哈师大附中高三上学期期中考试理科数学参考答案一．选择题题号123456789101112答案DADCBDBACABD二．填空题13．14．15．16．三．解答题17．解：（Ⅰ）由得，,，即，，又,．…………6分（Ⅱ）由余弦定理得：，又，，,．…………12分18．解：（Ⅰ）当时，当时，，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，…………3分设的公差为…………6分（Ⅱ）①10第页则②，由①—②得，∴…………12分19．解：（Ⅰ）由已知，，∴，∴故，椭圆方程为…………4分（Ⅱ）∵∥，∥，，∴直线垂直相交于点．①直线有一条斜率不存在时，②直

7、线斜率均存在，则斜率均不为0，不妨设方程联立，得设，则．把代入上式可得：，，当且仅当，即时，上式取等号综上可得：的最小值为．…………12分20．解：（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则10第页，设平面的一个法向量为则，令，得，∴，即∵平面∴∥平面．…………4分（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量，则∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………8分（Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为∴当，即时，取得最大值，且．…………12分21．解：（Ⅰ）依题意知函数定义域为，…………1分，…………2分当时，令，得；令，得故函数的单调减区间，增区间．………

8、…5分（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且，知，，10第页，…………7分令，，令，，令，又，;在单调递增且，，即存在使得即，在单