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1、2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数为纯虚数，则实数为( )A.B.C.D.2.若向量,则()A.8B.7C.6D.53.等差数列的前项和为,若,则()A.B.C.D.4.设为两个平面，则∥的充要条件是()A．内有无数条直线与平行B．，平行于同一条直线C．内有两条相交直线与平行D．，垂直于同一平面5.已知曲线在处的切线过点,则实数()A.B.C.D.6.函数在的图像大致为（）-9-A．B．C
2、．D．7.在各棱长均相等的四面体中，已知分别是是棱中点，则异面直线与所成角的余弦值（）A．B.C.D.8.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为()A．B．C．D．9.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：①如果，那么;②如果，那么;③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.410.在中，，则三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定11.数列的前项和为，已知
3、，若，则实数的最小值为（）-9-A.B.C.D.12.设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为()A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）[来源:学#科#网]13.已知,则.14.已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为.15.已知则的最小值是.m]16.在四棱锥中,底面,,若点为棱上一点,满足,则.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）若均为正数，且，
4、求的最小值.18．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.-9-（1）求角的大小；（2）若的周长为，面积为，求三角形三边长.19．（本小题满分12分）直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，为中点，为线段的中点.（1）若为中点，求证：面；（2）求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，，设是数列的前项和，证明：.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，=135°，底面，，分别为的中点，点在线段上．[来源:学
5、科
6、网]（1）求证：面⊥面；-9-（2）如果直线与平面所成的角和直线
7、与平面所成的角相等，求的值．22．（本小题满分12分）已知函数（1）当时，证明：对任意的，都有（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.-9-数学理参考答案17.（1）……5分（2）当且仅当时，的最小值……10分（注：“当且仅当时”不写，扣2分）18.（1）由正弦定理得，，[来源:Z。xx。k.Com]即，；……6分（2）由余弦定理得，,解得……12分19.（1）取AA1中点N，连结C1N，ND，取C1N中点E，连结EF，AE，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形，∴AB//ND，AB=ND，∵NE=EC1，C1F=FD，∴，又∵∴四边形MAEF
8、为平行四边形，∴MF//AE，∵面，AE面，面；……5分（2）在平面A1B1C1上过A1作垂直于A1B1的直线为轴，分别以A1B1，A1A为轴，建系A1-，，，设平面FA1C1的法向量-9-，，取，……9分平面A1B1C1的一个法向量，设二面角的大小为，……12分20.（1），当（当时也符合），所以……5分（2），……12分21.(1)∵面ABCD，EF面ABCD，∴EFAP在中，AB=AC，，∴ABAC，又，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB//EF，因此，ACEFAPAC=C，AP面PAC，AC面PAC，∴EF面PAC又EF面EMF，∴面⊥面.……5分[来源:
9、Z§xx§k.Com]（2）分别以AE，AD，AP为轴，建系A-设，，，设平面PBC的法向量，，，，-9-平面ABCD的一个法向量，，，，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，即，即，……12分22．（1）当时，设，，设，，[来源:学+科+网Z+X+X+K]所以在上是增函数，，所以在上是增函数，即，对任意的，都有……5分（2）若对任意的恒成立，……6分，（其中增函数），①当时，，，在上，是增函数，符合题意，……8分②当时，存在唯一，此时-9-在上，；，设，，在上是增函数，，所以，在上，是增函数，解得综合①②，……12分-9-
