江苏高考数学一轮复习《向量的数量积》 教程学案

《江苏高考数学一轮复习《向量的数量积》 教程学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第55课　向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.3.能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1.阅读：必修4第83～88页.2.解悟：①数量积的定义；②向量b在向量a方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4，体会解题的方法和规范.3.践习：在教材空白处，完成第89～90页习题12～18题.　基础诊断　1.判断下列各题正确与否：(1)0·a＝0.()(2)0·a＝0.(√)(3)若a≠0，a·b＝a·c，则

2、b＝c.()(4)若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)，对任意a，b，c向量都成立.()(6)对任意向量a，有a2＝

3、a

4、2.(√)【分析与点评】(1)(2)实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3)向量不能进行除法运算；(4)当a⊥(b－c)时也成立；(5)向量间的乘法不具有结合律.2.已知A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·＝　－4　.解析：由题意得＝(2，1)，＝(－2，0)，所以·＝(2，1)·(－2，0)＝－4.3.已知

5、菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝　a2　.解析：由题意得，

6、

7、2＝a2，·＝a×a×cos60°＝a2，所以·＝(＋)·6＝

8、

9、2＋·＝a2＋a2＝a2.4.已知

10、a

11、＝2，

12、b

13、＝4，且(a＋b)⊥a，则向量a与b的夹角为　　.解析：由题意得(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0，所以a·b＝－

14、a

15、2＝－4.设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝－，所以θ＝.　范例导航　考向❶通过定义求平面向量的数量积例1　已知

16、a

17、＝，

18、b

19、＝1，a与b的夹角为135°.(1)求(a＋b)·(2a－b)的值；(2)

20、若k为实数，求

21、a＋kb

22、的最小值.解析：(1)由题意得a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cos135°＝－1，(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝4－1－1＝2.(2)

27、a＋kb

28、2＝

29、a

30、2＋k2

31、b

32、2＋2ka·b＝k2－2k＋2＝(k－1)2＋1.当k＝1时，

33、a＋kb

34、2的最小值为1，即

35、a＋kb

36、的最小值为1.已知向量a、b满足＝1，且a与b－a的夹角为，则

37、a

38、的取值范围是　　.解析：在△ABC中，设＝a，＝b.因为b－a＝－＝，a与b－a的夹角为120°，所以∠ABC＝60°.因为

39、

40、＝

41、b

42、＝1，所以＝，

43、所以

44、a

45、＝sinC≤，所以

46、a

47、∈.考向❷通过“基底法”求平面向量的数量积例2　如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，F为DE的中点，求·的值.6解析：＝－＝－，＝－＝－＝－，所以·＝(－)·(－)＝

48、

49、2－·＋

50、

51、2＝2－4＋6＝4.在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝　9　.　解析：因为O为BD的中点，所以＋＝0.因为·＝－7，所以(＋)·(＋)＝

52、

53、2＋·＋·＋·＝

54、

55、2＋·(＋)－

56、

57、2＝

58、

59、2－

60、

61、2

62、＝－7，即32－

63、

64、2＝－7，所以

65、

66、2＝16，所以

67、

68、＝

69、

70、＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋

71、

72、2＝－

73、

74、2＋·(＋)＋

75、

76、2＝－16＋52＝9，故·的值为9.考向❸通过建系法求平面向量的数量积例3　在矩形ABCD中，边长AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且＝，则·的取值范围是　[1，4]　.解析：以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角6坐标系，所以点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点M的坐标为(2，y)，点N的坐标为(x，1).因

77、为＝，所以y＝，所以＝(x，1)，＝，所以·＝·(x，1)＝＋1，0≤x≤2，所以1≤＋1≤4，即·∈[1，4].在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是　[4，6]　.解析：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(3，0)，B(0，3)，所以直线AB的方程为＋＝1，即y＝－x＋3.设点N(a，3－a)，M(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3.不妨设a>b，因为MN＝，所以(a－b)2＋(3－a－3＋b)2＝2，所以a－

78、b＝1，所以a＝b＋1，所以0≤b≤2.·＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b＋1)b－3(b＋1＋b)＋9＝2(b－1)2＋4.因为0≤b≤2，当b＝0或b＝2时有最大值6，当b＝1时，有最小值4，所以·的取值范围是[4，6].　自测反馈　1.若a，b均为单位向量，且a⊥(a－2b)，