2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(十三)平面与平面垂直的判定(含解析)新人教A版

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1、课时跟踪检测(十三)平面与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一 二面角1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是(  )A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析:选C 若方向相同则相等,若方向相反则互补.2.从空间一点P向二面角αlβ的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是(  )A.60°B.120°C.60°或120° D.不确定解析:选C 若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.3.在正方体ABCDA1B1C1D1

2、中,二面角ABCA1的平面角等于________.解析:根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角平面角定义可知,∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.答案:45°对点练二 平面与平面垂直的判定定理4.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(  )A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析:选D 当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.5.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(  )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n

3、,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:选C ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.6.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有(  )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:选D ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.7.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有(  )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ解

4、析:选A B错,有可能m与β相交;C错,有可能m与β相交;D错,有可能α与β相交.8.如图所示,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,BD⊥CD.(1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)若AB=2BD,求二面角ADCB的正弦值.解:(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD,又BD⊥CD且BD∩AB=B.∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD.(2)由(1)知∠ADB为二面角ADCB的平面角.在Rt△ABD中,AB=2BD,∴AD==BD,∴sin∠ADB==.即二面角ADCB的正弦值为.对点练三 折叠问题9.在平面四边形ABC

5、D(图①)中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图②所示的三棱锥C′ABD.(1)当C′D=时,求证:平面C′AB⊥平面DAB;(2)当AC′⊥BD时,求三棱锥C′ABD的高.解:(1)证明:当C′D=时,取AB的中点O,连结C′O,DO,在Rt△AC′B,Rt△ADB中,AB=2,则C′O=DO=1,因为C′D=,所以C′O2+DO2=C′D2,即C′O⊥OD,又C′O⊥AB,AB∩OD=O,AB⊂平面ABD,OD⊂平面ABD,所以C′O⊥平面ABD,因为C′O⊂平面C′AB,所以平

6、面C′AB⊥平面DAB.(2)当AC′⊥BD时,由已知AC′⊥BC′,因为BC′∩BD=B,所以AC′⊥平面BDC′,因为C′D⊂平面BDC′,所以AC′⊥C′D,△AC′D为直角三角形,由勾股定理得,C′D===1,而在△BDC′中,BD=1,BC′=,所以△BDC′为直角三角形,S△BDC′=×1×1=.三棱锥C′ABD的体积V=×S△BDC′×AC′=××=.S△ABD=×1×=,设三棱锥C′ABD的高为h,则由×h×=,解得h=.故三棱锥C′ABD的高为.二、综合过关训练1.如图,在立体图形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是 (

7、  )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDEC.平面ABD⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE解析:选B 由条件得AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ADC,AC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE,故选B.            2.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有(  )A.1对B.2对C.3对D.4对解析:选C 因为AB⊥平面BCD

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