2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（十二）直线与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一　直线与平面垂直的定义及判定定理1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)A．α⊥β，且m⊂α　　　　B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD.m⊥n，且n∥β解析：选B　α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A不正确；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故B正确；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故C不正确；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正确．故选B.2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①

2、l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是(　　)A．②B．①③C．②④D.③解析：选C　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选②④.3．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面(　　)A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B　当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过

3、l1且与l2垂直的平面不存在．4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则(　　)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：选A　连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形是菱形吗？解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O.∵

4、PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，又ABCD为平行四边形，∴ABCD为菱形．6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.

5、又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.对点练二　直线与平面所成的角7．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60°B．45°C．30°D.120°解析：选A　∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.8．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　)A．∠PADB．∠PDAC．∠PDBD.∠PDC解析：选B　∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面AB

6、CD所成的角．9．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　　)A．20°B．70°C．90°D.110°解析：选B　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．解：(1)如图所示，连接DB，∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影．则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角

7、．∵DB＝AB，D1B＝AB，∴cos∠D1BD＝＝，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1为45°.二、综合过关训练1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数个D.不存在解析：选B　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．2．若PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正

8、确的是(　　)A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD.PC⊥BC解析