2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（一）学案新人教B版

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1、3.3.2　利用导数研究函数的极值(一)学习目标核心素养1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)3.掌握函数在某一点取得极值的条件．(难点)1.通过极值的概念及极值与导数的关系的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助利用导数求函数极值的方法提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．函数极值的概念满足条件：函数y＝f(x)的定义域内一点x0，存在一个包含x0的开区间．(1)极大值点与极大值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＜f(x0)

2、．结论：f(x)在点x0处取得极大值，x0为函数f(x)的一个极大值点，记作：y极大值＝f(x0)．(2)极小值点与极小值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＞f(x0)．结论：f(x)在点x0处取得极小值，x0为函数f(x)的一个极小值点，记作：y极小值＝f(x0)．思考1：极值点是不是一个点？[提示]　极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．2．函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是

3、增加的．③x∈(x0，b)时，f(x)是减少的．(2)x0是(a，b)上的极小值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是减少的．③x∈(x0，b)时，f(x)是增加的．3．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)＝0的根x

4、＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．思考2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？[提示]　导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况．1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为(　　)A．1B．2　　　C．3　　　D．4C　[在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．]2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　)A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(

5、x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A　[由f′(x)的图象可知f(x)在(－∞，x2)内递增，在(x2，x3)内递减，在(x3，＋∞)递增，所以x2是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点．]3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．11　[y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小

6、值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.]求函数的极值和极值点【例1】　求下列函数的极值．(1)f(x)＝＋3lnx；(2)f(x)＝x3－12x；(3)f(x)＝－2.[思路探究]　解答本题可先求使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值．[解]　(1)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(0,1)

7、1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝3.(2)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2或x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗16↘－16↗∴由上表可知，当x＝－2时，f(x)有极大值16，当x＝2时，f(x)有极小值－16.(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝－.

8、令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－2＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝－2＝－1.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两