2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值讲义新人教B版

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1、1.3.2　利用导数研究函数的极值学习目标核心素养1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．会求函数在闭区间上的最值．4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)1．通过学习函数的极值、极值点、最值等概念，培养学生的数学抽象素养．2．借助利用导数求函数的极值、最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、极值点和极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)

2、(x0)极值极小值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作y极小＝f(x0)极值点极大值点与极小值点统称为极值点二、函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．(　　)(2)在可导

3、函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)(3)函数f(x)＝有极值．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上(　　)A．无最值　　　　B．有极值C．有最大值D．有最小值[解析]　f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．[答案]　A3．下列说法正确的是________．(填序号)①函数的最大值一定是函数的极大值；②开区间上的单调连续函数无最值；③函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．[答案]　②求函数的极值【例1】　

4、求下列函数的极值．(1)f(x)＝x2－2x－1；(2)f(x)＝－x3＋－6；(3)f(x)＝

5、x

6、.[解]　(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1．因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x＝

7、0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.(3)f(x)＝

8、x

9、＝显然函数f(x)＝

10、x

11、在x＝0处不可导，当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝

12、x

13、在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝

14、x

15、在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x

16、)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是__________．[解析]　∵f′(x)＝2x－，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．[答案]　1利用函数的极值求参数【例2】　已知f(x)

17、＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．[思路探究]　(1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．[解]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．∴∴a＝－，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．∴f(x)＝x3－x2－2x＋1．∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(

18、x)＝0，得x＝－或x＝1，当x变化时，f′(x)，