2019高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修2

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1、1.3.2　利用导数研究函数的极值1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法．2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法，逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯．1．函数的极值与最值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有______＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．如果在x0附近都有__________，则称函数f(x)在点x0处取极小

2、值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．(2)极大值与极小值统称为______，极大值点与极小值点统称为______．(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如图所

3、示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点．【做一做1－1】下列说法中正确的是(　　)．A．若f(x)≥f(x0)，则f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，则f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．以上都不对【做一做1－2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则(　　)．A．极大值一定是最大值，且极小

4、值一定是最小值B．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D．极大值必大于极小值2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求________；第2步：求方程________的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是______；如果由负变正，则f(x0)是______．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．可导函数的极值点必须是导数为零的点

5、，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3在x＝0处导数f′(0)＝0，但x＝0不是它的极值点，即可导函数在点x0处的导数f′(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．【做一做2－1】函数y＝x2＋x＋1的极小值是(　　)．A．1B．C．D．不存在【做一做2－2】若函数y＝2x3－3x2＋a的极大值是6，则a＝________.3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0

6、的所有点和端点的______，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值．因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程．当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值．【做一做3】函数f(x)＝x3＋x2－x在区间[－2,1]上的最大值为________，最小值为________．函数的极值与最值有何关系？剖析：如果函数在某些点

7、处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点．观察下图中一个定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)．一般地，在区间[a，b]上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值与最小值．注意：(1)在区间(a，b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数不一定有最大值与最小值，如函数f(x)＝在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值．(

8、2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．(3)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，是f(x)在区间[a，b]上有最大值与最小值的充分而不必要条件．(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．题